GÉNÉRALES DES NOMBRES
I . On entend par Théorie des Nombres la partie des mathématiques pures, qui a pour objet la recherche et Texpositîon des propriétés générales des nombres entiers. Le titre de Recherches théoriques et pratiques sur les nombres conviendrait mieux, d'autant plus que c'est souvent la pratique ou. le calcul des nombres exprimés en chiffres qui a fait trouver, par induction, de belles propriétés des nombres dont la démonstration a exigé quelquefois une longue suite de propositions.
On a reconnu qu'il était utile de généraliser un peu la signification du mot nombre et l'on a désigné par ce mot un terme quelconque de la progression arithmétique dont la raison est i, cette progression étant prolongée indéfiniment dans les deux sens, comme on le voit ci-dessous :
Ainsi par le mot nombre on entendra i° zéro; 2° l'unité positive et l'unité négative ; 3° les nombres positifs et les nombres négatifs.
Pour l'intelligence de diverses propriétés des nombres, qui seront énoncées plus bas, afin de donner une idée de la théorie des nombres, il est bon de dire un mot de deux classifications des nombres. Il suffira de considérer les nombres positifs, les résultats étant les mêmes pour les nombres négatifs. Ces classifications d'un usage général se trouvent déjà dans les livres VII, VIII et IX des OEiivres d'Euclide. La première n'y est guère qu'indiquée.
Si l'on range la suite des nombres o, i, 2, 3, 4,--> des manières
lO INTRODUCTION A LA THÉORIE DES NOMBRES.
suivantes : ^
[ 3, 7, II, i5,.. .,
on les distribuera d*abord en deux classes : i° les nombres pairs renfermés dans la formule 2^, puisque, en y posant x=o, 1,2,3,..., on retrouve o, a, 4, 6,. ... ; 2» les nombres impairs renfermés dans la formule ax-H i. Autrement, la progression dont la raison est i a été partagée en deux autres dont la raison est 2.
On peut encore former trois classes, ou trois progressions dont la raison est 3, pour remplacer la progression dont la raison est i ; les nombres de ces trois classes sont représentés respectivement par
3Xf 3^-h I, 3j;4- 2.
De même tous les nombres peuvent se partager en quatre classes, représentées par les formules
En général le nombre m étant pris à volonté, on formera m classes de nombres
mj7, mx -h I , inx -h 2, ... , mx -h m — 1 .
Cette classification est importante, car on reconnaît bientôt que les propriétés des nombres varient selon qu'ils appartiennent à une classe ou à une autre.
2. On entend par diviseur d'un nombre n tout nombre qui s'y trouve contenu une ou plusieurs fois exactement; quel que soit w, les nombres i et n en sont diviseurs. Le nombre n est premier lorsqu'il n'a que ces deux diviseurs; il est composé dans le cas contraire. Les nombres i, 2, 3, 5, 7, 11, i3, 17, 19,... sont premiers; ceux-ci, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, i5, 16, 18, 20,... sont composés. Ainsi 4> outre les diviseurs i et 4» « 1^ diviseur 2. Le nombre 9 a le diviseur 3, etc.
Un nombre composé est multiple de ses diviseurs : 12, qui a pour diviseur 4 ou qui contient 3 fois 4> ^st multiple de 4. Deux nombres sont premiers entre eux quand ils n'ont point d'autre diviseur commun que l'unilé.
