OBJET DB LA THEORIE DES NOMBRES. II
Les diviseurs de n, à rexceplion de n, sont aussi nommés sousmultiples de n.
Les propriétés des nombres composés dépendent généralement de celles des nombres premiers dont ils sont multiples.
3. Ceci posé, voici quelques exemples de propriétés générales des nombres. Ils donneront une idée de ce qu'il faut entendre par Théorie des Nombres. Les applications montreront Tutilité de cette théorie pour le perfectionnement de certaines parties des mathématiques pures.
Premier exemple. — Euclide a prouvé qu'il y a une infinité de nombres premiers. Son raisonnement s'applique facilement aux nombres 4^4-3, mais cette proposition \ Il y a une infinité de nombres premiers de la forme ^k-^-i , est bien moins facile à établir que celleci \Ilya une infinité de nombres premiers de la forme 4 A* -f- 3.
11 est encore vrai de dire que toute progression arithmétique représentée par la formule
ax -\- r,
où r est premier à a, renferme une infinité de. nombres premiers; mais la démonstration due à Lejeune-Dirichlet est assez compliquée.
Deuxième exemple, — Si Ton prend une progression arithmétique 5, 17, 29, 4'> 53/65, 77, 89, loi, ii3, 125, 137, 149, etc.,
et qu'on cherche les restes des termes divisés par Un même nombre, on les verra se reproduire périodiquement. Pour le diviseur 7, la période de ces restes 5, 3, i, 6, 4» 2, o, est formée des sept termes o, 1,2, 3, 4, 5, 6.
Pour le diviseur 8 la période des restes 5, i, est formée de deux termes. Généralement le nombre des termes de la période, est égal au diviseur, ou à l'un de ses sous-multiples.
Troisième exemple. — Pour la progression géométrique, il y a quelque chose d'analogue. Soil, par exemple,
on
12 l>TRODlCTIO> A I.A THÉORIE DKS NOMRRKS.
Si Fou prend pour diviseur le nombre premier 7, les restes sont I, 5, 4, G, 2, 3,
ei se reproduisent périodiquement.
Pour un autre diviseur premier, i3 par exemple, les quatre restes
se reproduisent périodiquement.
Généralement pour un diviseur premier/? le nombre des termes de la période est un diviseur de p — i. On verra plus loin ce qui arrive quand le diviseur/? n*est pas premier.
Celte proposition est intimement Hco à la précédente, au moyen de la proposition suivante : Le nombre a n étant pas divisible par le nombre premier />, les restes des nombres
a, ia, 3rt,. . » (/? — ijrt,
divisés par p, sont, à l'ordre près,
Exemple. Les nombres 5, 10, i5, 20, 7.5, 3o, divisés par 7, donnent les restes 5, 3, i, 6, 4> 2.
La proposition du troisième exemple revient à dire que si le nombre premier p ne divise pas a, le nombre aP-'^^—i est multiple de p. C'est le Théorème de Fermât. Euler Ta généralisé.
Quatrième exemple. — La décomposition des nombres en carrés donne la proposition suivante : // faut quatre carrés au plus pour former un nombre entier :
2=14-1, 3=iH-i-hi, 4 = »-»-' + ''+-'» 5=^-hu
6=4-hi-hi, 7 = 4+ ^-^-»-^^ 8 = 44-4» —
L'examen des formes particulières des nombres a conduit à des résultats remarquables, dont voici les énoncés :
Tout nombre premier 4 /» -h 1 est la somme de deux carrés. Tout nombre 8 /r -f- 3 est la somme de trois carrés. Tout nombre impair est la somme de quatre carrés dont deux sont égaux, etc., etc.
11 faut cependant une élude assez approfondie des fonctions homo-
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gènes du second degré x'^ 4- y\ ^- -h j^'^ -i- z^ . . ., pour avoir des démonstrations complètes.
On voit par cet exemple que l'analyse indéterminée, ou la résolution en nombres entiers des équations à plusieurs variables, conduit à des propriétés de nombres; malheureusement cette analyse est trèspeu avancée au delà du second degré. Quant au premier degré, il ne présente pas de difficulté.
L'induction a indiqué certaines propositions qui n'ont pas encore été démontrées, peut-être parce qu'elles cessent d'être vraies audelà d'une certaine limite. Selon Goldbach tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers : 2=14-1, 4 = i-l-3, 6=i-h5, etc. 11 en résulterait que tout nombre impair est la somme de trois nombres premiers dont l'un serait l'unité.
4. La démonstration d'un théorème sur les nombres est dite arithmétique lorsqu'elle s'appuie uniquement sur la considération des nombres entiers et par suite des fractions, soit ordinaires, soit continues. Ces démonstrations méritent la préférence quand elles n'entraînent pas trop de longueur. Dans certains cas il faut, soit pour abréger considérablement, soit parce que Tonne trouve aucune autre méthode, employer comme auxiliaires toute espèce de nombre : incommensurables, séries, intégrales définies, si le calcul donne le moyen de les faire disparaître du résultat final. Les expressions imaginaires facilitent assez souvent la démonstration de quelques théorèmes. Il en est même qu'on n'a pu encore établir sans leur secours. Ces démonstrations peuvent être nommées analytiques; elles seront quelquefois employées dans ce Traité, à défaut de plus simples purement arithmétiques.
l4 INTRODUCTION A LA THÉORIE DES NOMBRES.
