CHAPITRE IL
DES NOMBRES COMPOSÉS. - PERMUTATIONS, NOMBRES nGURÉS. ARRANGEMENTS, COMBINAISONS. -PUISSANCE DU POLYNOME, DU BINOME. - NOMBRES POLYGONES.
tf. On a remarqué que dans. un produit de tant de facteurs qu'on voudra, on peut changer Tordre des facteurs ; ainsi
C'est une conséquence de ce que la multiplication n'est qu'un cas particulier de l'addition et que dans l'addition l'ordre des parties est indifférent. Mais pour le montrer bien clairement, il faut remarquer que si l'on convient de placer le multiplicateur à droite du multiplicande, on aura : 1° comme conséquence de l'addition
(a) {a -\- b -r- c -\- . . .) m ^=. am -h hm -f- cm -f- ... ;
2" comme conséquence directe de la défmition
[h) a {m -\- n -\- p -\' . . .)= am-\- an-\- ap-\-. . . .
En langage ordinaire on peut dire :
Le multiple d'une somme est égal à la somme des multiples semblables des parties.
La somme de plusieurs multiples d'un nombre est un multiple de ce nombre.
Aux formules [a] et.(6) il faut joindre la formule
/ {a-\-b -\-c, . .)[m -\-n-\- p. , .)=zam-\'bm-^ cm-\-. . ,
l -\- ap ■+■ bp -^ cp -^ . . ,
qui s'en déduit.
DES NOMBRES COMPOSÉS. l5
Ileslà remarquer que les sommes a-f-6-f-^-h-., //ï4-/i-l-/>-f-. .. ayant respeclivement a et ^ termes, le produit en aura a(3. Donc : Quand on prend un terme de la suite des nombres a, b, c,. . ., tous différents, avec un terme de la suite m, n, /?,... , nombres aussi tous différents, cela se fait de a(3 manières.
Ces propositions s'étendent à plus de deux sommes, à plus de deux suites de nombres.
La proposition suivante est une conséquence très-simple des formules (a) et (6).
Théorème. — Tout produit abcde... de plusieurs facteurs a, b, c, d, e,. . ., est multiple de chacun de ces facteurs et sa valeur ne change pas avec l'ordre des facteurs ou des multiplications successives. Chaque facteur est pris autant de fois quil y a d'unités dans le produit des autres facteurs,
6. En représentant le produit i .2. 3. . . w par II ai, on aura les propositions qui suivent :
Théorème. — Les m facteurs inégaux d'un produit peuvent être permutés de II m manières.
Théorème. — Si dans un produit de m facteurs il jr en a a,Ç>,y,,,,, respectivement égaux à a, b, c,.,,, nombres différents, et que par conséquent on ait (x^ ^ "h y -h " » = ni, le nombre des permutations
sera
Um n(a-hfiH"y-h..O
na.n(3.ny..."~ na.np.ny...
Démonstration. — Admettons que parmi les facteurs il y en ait plusieurs égaux entre eux, les autres étant inégaux.
Pour fixer les idées, supposons trois facteurs égaux entre eux. La permutation
où les traits doivent être remplacés par des lettres de position invariable, en donne 2X3 par la permutation des lettres a, b, c; mais si Ton avait a = b = c, ces six se réduiraient à une seule.
On voit donc que toutes les permutations peuvent se partager en groupes de six termes analogues au précédent, car toutes les permutations d'un même groupe varient par la position de a, b, c
Si les lettres a, b, c, viennent à changer et n'occupent plus les mêmes places, on a un nouveau groupe différent du précédent et renfermant aussi 2X3 permutations, et, comme il est impossible
l6 INTRODUCTION A LA THÉORIE DES NOMBRES.
de trouver un groupe renfermant moins de six permutations différentes, il faut conclure que le nombre des permutations, au lieu d'être
Um, sera — — «• En général, si a facteurs sont égaux, on aura -7= — 2X3 lia
2® Si, indépendamment des a facteurs qui deviennent égaux,
il y en a encore p qui le deviennent , un raisonnement tout
semblable donnera f= — =— ? et ainsi de suite. On a donc ce résultat
général :
Hm n(a-h(3-hy-4-...)
na.np.ny... "" na.np.ny...
Théorème. — Le produit de n nombres consécutifs /r -f- i , /r -h 2,. . ., A* -h n est divisible par le produit 1.2. 3... n = II/?.
Démonstration. — Cela suit de ce que l'entier
n{n-hk) __ nk.{h'^i)ik-hi)...{h'-\-n) Un.nk "" Uk.Un
se réduit à
(A--hi)(A--h2)...(A--+-Ai)
Cela vient encore des propositions suivantes, dont la vérité se voit immédiatement :
TnÉomËME. — La différence
lk-hi){k-h2)...{k'hn-hi) Ar(/rH-i)...(A--h/i) I . 2 ... (w-hr) 1 . 2 . . . (w + i)
est égale à
(k-hi){k'^:t)...(k-hn) I 2 ... n
Théorème. — La somme suivante
^ {k-{-i){k-\-i)...(k-^-n) 1.2 ... n est égale à
IXES NOMBRES COMPOSÉS. i -^
qui se tire du dernier terme de la somme en mettant un facteur rf<? plus au numérateur et au dénominateur.
Démonstration, — Si dans l'équalion
on fait /r= I, 2, 3,..., et que l'on ajoute les équations ainsi obtenues membre à membre, en effaçant les termes qui se détruisent et
transposant le terme ) : =: ? on a le résultat de
renoncé.
Des nombres figurés,
