Les nombres représentés par la formule
sont dits nombres figurés de V ordre n. Pour /i = i on a les nombres naturels, pour /i = 2 les nombres triangulaires, pour n = Z les nombres pyramidaux, pour ai = 4 les nombres trian^ulo-triangulaires, etc.'
On peut les obtenir par des sommations successives, comme le montre le théorème du numéro précédent, qui peut se résumer ainsi :
y x{x-{- ^)' • 'i^-hn — i) .r(j;-f- i). ..(x-i-/i) 1 . 2 . . . /t 1 . 2 . . . ( /i -f- I )
la somme 1 est composée de x termes qui répondent à
Cette formule peut encore se présenter ainsi, pour éviter la forme fractionnaire,
Le tableau {a) qui suit, donne les nombres figurés des divers I. 2
iB INTBODUCTION A LA THÉOIII DIS NOMBRES.
ordres et leurs termes généraux,
OÙ les termes généraux résultent des formules suivantes
Zm = '' =n-2-h3f-...-h/w,
-. m(m-f-i)(/yt-f-2) m(m"h i)(m4-2)(m + 3) i .2.3 2.3.4 1.2.3 1.2.3.4 1.2.3 1.2.3
Fermât dans ses Notes sur Diophante, proposition IX du livre des Polygones^ s'exprime ainsi :
Propositionem pulcherrimam et mîrabilem quant nos invenimus hoc in loco sine demonstratione apponemus. In progressions naturali quœ ab unitate sumit exordium quilibet numerus in proxime majorent facit duplunt sui trianguli, in triangulunt proxime majorisfacit triplum suœ pyramidis, in pyramidem proxime majoris facit quadruplum sui triangulotrianguli, et sic uniformi et generali in infinitum methodo, Nec existimo pulchrius aut generalius in numeris posse dari theorenta cujus demonstrationem margini inserere nec curât nec vacat.
Dans te tableau (a) la seconde ligne renferme les nombres naturels.
La troisième ligne les nombres dits triangulaires. Le nombre triangulaire de m est — ^ 1 son double est m (m -k 1), produit de
DSS NOMSRIS FlCiLRÉS.
m 4- I par m
La quatrième ligne renferme les nombres pyramidaux. Le nombre
pyramidal de m est — ^ '-^ -S son triple est m- '-^ '
OU le produit du nombre triangulaire de m-4- i par m.
Dans ces figures, chaque point représente une unité. Ces points sont placés à égales distances sur les côtés d'un triangle équilatéral et sur des parallèles à la base de ce triangle.
Dans la figure qui représente le nombre pyramidal, les points sont placés sur des sections triangulaires équidistantes, faites parallèlement à la base d'un tétraèdre régulier.
La cinquième ligne du tableau [à] renferme les nombres triangulo-
triangulaires. Ce nombre relativement a m est — ^ — ^r-^r^-^ — ■ — -'
dont le quadruple est m- ^ -S produit du nom-
bre pyrapiidal de m-hi par m, et ainsi de suite : c'est la règle de Fermat- De son temps, les notations incommodes voilaient les conséquences même assez immédiates des opérations. Voici encore une démonstration élémentaire des équations
42 ar(^-f-i)(^H-2) = x(^-f- i)(^-h2) (x-f- 3),
mlx{x-\-\) {x-\-i),.,[x-\-m — 2) = x(.r-i- i) {x-\-i),,,[x-{-m — 1).
' D'abord elles se vérifieni pour x = i , car en réduisant les sommes à un terme, l équation générale donne
Ensuite, si Ton suppose <|ue l'équation est vraie jusqu'à une certaine valeurdex, en ajoutant un lornïc de plus, c'est-à-dire
le premier membre devient
/M 2 (jr -h I ) . . .{x -h m — I ),
et le second, par l'addition du même nombre, et en raison des facteurs communs,
{x-h i){^-h'i). ' .{x-]-m — i) (.r-hm);
ainsi il suffit de changer .j- en j: -h i dans les deux membres et Téquation subsiste.
Cette méthode de démonstration, dite de proche en proche, est souvent employée comme moy^n de vérification. Ainsi
lx'='
vraie pour x= i, l'est en général, comme on le voit en ajoutant [x-^-iy au premier membre et (x-{-i){x -\-i) au second. On a de même
Arrangements et combinaisons,
8. Dans Tarrangement des lettres a, b, c,..., l, Tordre peut être quelconque; dans la combinaison, on prend Tordre alphabétique. Quand une même lettre peut être prise plusieurs fois, l'arrangement* et la combinaison sont dits ai^ec répétition. La formule qui donne la somme des nombres figurés conduit directement au nombre des combinaisons sans répétition ou avec répétition.
Théorème. — La formule qui donne le nombre Cm,» des combinaisons, sans répétition, de m lettres n à n est
