INTROBUCTION AU CALCUL TENSORIEL

Supposons maintenant que les «n* se transforment en de nouvelles^ variables n* suivant les formules :

Ar=n Ar = l

et que Ton ait, toutes transformations faites, une identité de la* forme :

On dit alors que les deux séries de variables (U) et (V) sont deux séries contragrédienteS; on dit encore que les (ii*) sont des variablesqui se transforment d'une manière contrcEvariante aux vecteurs de base, ou encore que ce sont des variables contravaricaitesJ

Remplaçons dans (17) les r]* par leurs valeurs, et identifions les coefficients des ii*, il vient :

mais puisque les l se transforment comme les u, on a :

par suite :

Si Ton a égard au fait que dans les formules (i^')» l'indice muet *' est rindice inférieur des [i tandis que dans les formules (14') l'indice muet est l'indice supérieur des p, on voit que les coefficients^ de la transformation des variables r\ (contra variantes aux u), en les variables t], sont les mêmes que ceux de la transformation (14') inverse de (13'), à cela près que les lignes sont changées en colonneset vice-versa dans le tableau où on les groupe. On verrait de même que la transformation inverse de (IV) est la suivante :

*) Nous appellerons indice muet suivant , une locution expressive due à M. Eddington, Tindice suivant lequel on effectue des sommations, dans une expressièl» analytique donnée.

VECTEURS. TRANSFORMATIONS LINEAIRES

Ar=l

Reprenons le vecteur

a = XiUj -h XjUa + ... + XnUn ;

dans le second système de coordonnées, il s'écrit :

a = Xiiïi + X2Û2 + ... 4- ï^«ïïn.

Donc, l'expression \j ^iU» se transforme «n ^ XiU* quand

on effectue la transformation de coordonnées (13'); c'est donc dire que les (X») et les (Ui) sont deux séries de variables coniragrédientes, c'est dire encore que les Xi sont des variables contravariantes. Dorénavant, nous désignerons les variables contravariantes par des lettres affectées d'indices placés supérieurement (comme des exposants, la confusion n'est d'ailleurs pas à craindre) et les variables covariantes par des lettres affectées d'indices inférieurs. Nous avons vu que lés composantes d'un vecteur, telles que nous les avons définies sont des variables contravariantes. Nous allons voir un exemple de variables covariantes. '

Supposons qtie nous fassions correspondre à tout vecteur a de la multiplicité n- dimensionnelle que nous avons définie plus haut, un nombre réel L (a) ; ce nombre est donc une fonction du vecteur a ; nous supposons qu'elle soit telle que sa valeur pour le vecteur a-hb soit égale à la somme des valeurs qu'elle prend pour les vecteurs a et b pris séparément :

cela entraîne pour X rationnel :

L(Xa) = XL(a)

et nous supposons que cette équation fonctionnelle est vraie quel que soit le nombre réel X. La fonction L(a) est dite une forme linéaire du vecteur a.

Si donc on utilise un système d^ coordonnées (u^, .... Un), dans lequel le vecteur a s'écrit :

on voit tout de suite que l'on peut écrire L(a) sous la forme : Galcal leasoriel. 2