INTRODUCTION AD CALCUL TENSORIEL

L(a) = T]^L(uJ + Ti^LCUa) + ... -f. T)^L(iin).

Posons alors : L(iu) = a», les ai sont dits les coefficients de la forme linéaire ; ce sont des variables covariantes, comme nous- Talions voir. En effet, si l'on utilise un deuxième système de coordonnées (Uj, ... u«) dans lequ«l on ait :

la forme L(a) s'y é^ra :

L(à) = a^Ti^ + a^Ti^ -+-... 4- oinrf, si l 'on "pose L (ui) = cii ; on a donc :

mais puisque les r\* sont ides variables contravariantes, on en déduit qu€ I«s ai sont des variables covariantes. Les coefficients d'une fonne linéaire d'un vecteur sont des variables covariantes, quand on exprime cette forme au moyen des composantes contravariantes de ce vecteur.

Remarques.

I. Les formules (13'') qui donnent les composantes ti* d'un vecteur a dans un nouveau système de coordonnées, en fonction des anciennes composantes ti* de ce même vecteur peuvent être interprétées d'une autre manière. Au lieu d'imaginer qu'on a deux systèmes de coordonnées et un seul vecteur, imaginons que l'on n'ait qu'an seul système (l'ancien) et deux vecteurs a et a dont les composantes sont respectivement les V et les ti* ; alors tes formules 0.y) et leurs inverses définissent précisément une correspondance entre le vecteur a(ji*) et le vecteur a (tj*), ou si l'on veut, une transformation du vecteur a en le vecteur â. Les formules (13"), ou la signification de la transformation, montrent que cette correspondaiice jouit des deux propriétés suivantes : si elle fait correspondre i à a, et b à b :

P) elle fait correspondre a-f-b à a-f-b; 2°) elle fait correspondre Xâ à Aa (X réel).

VECTEURS. TRANSJ^ORMATIONS LINEAIRES

Une transformation qui jouit de ces deux propriétés est dite une transformation iinécare, ou affine; on l'appelle aussi affinité. Les coefficients des formes linéaires des seconds membres des formules de la transformation déterminent une matrice.

Puisque le produit de deux affinités est une affinité et que l'inverse d'une affinité est encore une affinité, les transformations linéaires forment un groupe. Donc, les transformations de coordonnées forment un groupe.

IL Nous allons introduire pour terminer -ce chapitre, une notion qui nous sera très utile dans la suite : la notion de multiplicité ponctuelle linéaire à n dimensions.

Considérons le groupe formé par n nombres réels quelconques (a?i, Xj, ... Xn) ; pour plus de simplicité, nous dirons que ce groupe est un point P; les Xi sont dits les coordonnées du point P.

Deux points sont différents quand les groupes de n nombres qui les définissent ne sont pas identiques. L'ensemble des points obtenus en faisant varier indépendamment les uns des autres, les nombres Xi entre certaines limites (qui peuvent d'ailleurs être — cso et -f- ex) forme un continuum. à n dimensions. Pour notre objet, nous admettrons que les Xi peuvent varier entre — oo et -f- oo. Le point (o, o, ... o), dont toutes les coordonnées sont nulles est dit l'origine. Nous aurons à porter nôtre attention tout à l'heure sur les points A^ (u^, 0...0), An {o, u^, ... o) ... An (o, o, ... u»). les coordonnées de Ai sont nulles, sauf la î**^® qui est égale à u».

Deux points P et Q déterminent dans leur ensemble et par l'ordre dans lequel on les énonce, un objet que nous appellerons un vecteur, et que nous désignerons soit par la notation PQ, soit par une lettre minuscule grasse a. Nous astreindrons par la suite ces vecteurs aux définitions et aux règles de calcul que nous avons établies

dans le présent chapitre. Considérons les n vecteurs O^i = Ui, ...

OAn = Un ; nous les appellerons vecteurs de base du système de coordonnées (xi).

Soient P(xi) et QCy») deux points ; formons les différences :

y» — Xi = yi

et posons ^* = — ; les t* sont dits les composantes du vecteur PQ

Ui

dans le système de coordonnées vectoriel dont les u» sont les vec-

teurs de base. Cette détermination sera justifiée tout à l'heure. Soit encore le point R (zi) ; le vecteur P/? est dit la somme des vecteurs PQ et OR ; calculons les quantités suivantes correspondant respectivement à ces 3 vecteurs :

pour PQ : t* = — =

->- X; Zi — Yj

pour OR : V = — = — —

pour P/t : Ti* = — = -

Vi Ui

Ce qui veut dire que les composantes du vecteur somme sont égales à la sommée des composantes de même rang des vecteurs dont on fait la somme. Deux vecteurs dont les composantes de même rang sont égales sont égaux; grâce à cette définition, il de-

vient donc possible de définir la somme de deux vecteurs AB, CD

quelconques ; pour cela, on fait la somme des deux vecteurs AB et

BE, ^oït AÈ ; c'est le résultat cherché ;E est le point dont les coordonnées sont égales aux coordonnées de même rang du point A

augmentées des composantes de même rang du vecteur CD. On dit

qu'on a amené le vecteur CD en BB ; on eût pu tout aussi bien

amener AB en DF ; F étant un point qu'on obtient bien aisément et l'on voit que