INTRODUCTION AU CALCUL TENSORIBJ

dent d'ailleurs. Puisqu'il est possible de trçuyer n vecteur» linéairement indépendants, soit (Uj, Ua, ... Un) un tel groupe. Si a câat un vecteur quelconque de la multiplicité, d'après nos définitions, il faut qu'il s'exprime linéairement en fcmction. des u« :

a = X^Ui 4- X3U2 -+- ... 4- XnUft

et côla d'une manière univoque, car si l'on avait encore :

. a, = X\Ui -f- X'aUa 4- ... 4- X'ftUft on en déduirait :

Les Xi sont encore dits les composantes du vecteur a dans le système de coordonnées dont les Ui sont les vecteurs dé base. Soit b un autre vecteur :

b = [iiUi 4- fiatij 4- ... 4- pi-nU», le vecteur :

c = (Xi 4- piJUi 4- ... 4- (X» 4- H-n)u„ •

est égal d'après les prqpriétés de l'addition, au vecteur a4-b. Donc dans un système de coordonnées quelconque, les composantes du vecteur somme de plusieurs autres vecteurs sont égales respectivement aux sommes des composantes de même indice des vecteurs donnés.

On voit aussi que le vecteur

d = (pXi)Ui -h (pX2)Ua 4- ... 4- (pX»)Un

où p est un nombre réel, est égal d'après les règles de la multiplication au vecteur pa. Le vecteur o est le vecteur dont toutes les composantes sont nulles; comme on s'en rendra compte, cette définition est indépendante du système de coordonnées. Si l'on change de système de coordonnées, c'est-à-dire si l'on prend d'autres vecteurs de base \i\, u'^, ...., u'n, le vecteur a aura dans ce système de nouvelles composantes X'^, ... X\ ; cherchons-les. Les vecteurs u'< s'expriment dans l'ancien système par -

U'i = «ijUi 4- aiaUa 4- ... 4- dinUn (13)

les oLijt étant leurs composantes. Puisque les u'i doivent être iinés^irement indépendants, le déterminant | ai|. j :^o ; si les Po? sont les coefficients de la transformation inverse de la transfc«mation (13),

VECTfiUBS. — THANSFORMATIÔNS LINÉAIRES

ou si Ton veut les com|)osaates d«s u^ dans le système de coordonnées (u't), les formules qui expriment les X'i en fonction des ^»r •sont les suivantes :

on les obtient en écrivant que :

«si une identité en les \x! % quand on y remplace les u* par leur valeur :

Ujb = pjfciU'i + PfcaU'^ -+-.... -4- PfcnU'n (U)

Puisque les formules (14) résolvent les équations (13) et viceversa, on en déduit que :

J2|j *«> ?r* = Si*

2 Pir «rA = 5i* (^^)

Modifions légèrement nos notations, la raison en sera claire plus tard. Désignons par a^ les grandeurs ^iu et par ^f les ^^ ; puis au lieu de lettres accentuées pour désigner des grandeurs relatives au <leuxième système de coordonnées, utilisons des lettres surlignées.

Les équations (13) et (14) s'écrivent :

Âr=n

«4=2 afu*

Soient maintenant deux séries de n variables (5i, Ç,, ... Çn) et iy^^y n*i ••• 1*) ; supposons que les 5* se transforment en de nouvelles variables I* suivant les mêmes formules qui permettent la transformation des Ui ea les ût. On dira que les deux séries (?♦) et (u*) sont cogrédientes, ou encore que les (U) sont des variables qui se transforment d'une manière cavariante aux vecteurs de base, ou plus simplement que ce sont des variables covariarUes.