VECTEURS. TRANSFORMATIONS LINÉAIRES

0P = Vu, H- 5X "H .... 4- S'^Un.

Les vecjteurs que nous venons de définir satisfont bien à toutes les définitions données plus haut.

Nous avons donc introduit dans le continuum ponctuel que nous venons de définir une multiplicité vectorielle linéaire ; elle est à n dimensions comme le montrent la formule précédente et le fait que parmi les Ui, il n'en est aucun qui soit une combinaison linéaire des autres.

On dit que le continuum est décrit avec d'autres coordonnées si l'on convient que le point' (o^i, x^, .... a:») est le même que le point (Xj, Xa,' .... a?n), les Xi étant des fonctions des Xi :

Xi =^ 1% \X-^ , ... X'n,] .

Nous aurions alors une autre origine {o, o, ... o) (le point est le point dont les anciennes coordonnées annulent les n fonctions /»);

nous définirions n nouveaux vecteurs de base ÔBj, OBj, ... OB» les points Bi ayant les nouvelles coordonnées : B^ (iXi, 0...0), ^i{o,xi^^o,..(>) ; ...Bn(o,o...Un). Les règles que nous avons posées pour le calcul des. vecteurs dans le continuum ne zoni plus valables ici, lorsque les fonctions /» sont quelconques ; en particulier la règle n'est plus valable qui dit que les sommes 2 à 2 des composantes dé deux vecteurs sont les composantes de la sommç du vecteur. Nos définitions ne restent valables que si les fonctions /» sont linéaires, c'est-à-dire si

Xi= ^ (X.ihXk -h CLi.

Les ait étaht des constantes, telles que \^ik\ 7^0, et les a< étant aussi des constantes.

Etant donné un continuum ponctuel n-dimensionnel, il est donc possible d'y attacher une fois pour toutes une multiplicité vectorielle linéaire à autant de dimensions, pourvu que les coordonnées qui permettent la discrimination des points du continuum ne soient soumises qu'à des transformations linéaires. Une fois que ce rattachement est fait et pour autant qu'il reste valable, le continuum est dit constituer une multiplicité ponctuelle linéaire n-dimensionnelle. La géométrie d'une multiplicité linéaire (ponctuelle ou vectorielle) est dite géométrie affine ou géométrie linéaire.