OU

"t un' —

tfx

La dérirmUon et V élévation (ou l'abaissement) d*un indice sont deux opérations commutatives^

On peut donner une forme symbolique à Topération de différenciation. Si Ton considère les opérateurs

comme les composantes covarîantes d'un vecteur d, les composantes du tenseur, dérivé d'un tenseur donné, sont les composantes du tenseur produit du tenseur donné par ce vecteur symbolique.

Il est bien évident que l'on peut dériver autant de fois que l'on veut, c'est-à-dire multiplier par le vecteur symbolique d, autant de fois que l'on désire.

Nous allons prendre quelques exemples simples dans l'espace à trois dimensions qui nous est familier.

I. Imaginons l'espace rempli d'un fluide dont la température est en chaque point le nombre T {Xi.,.Xn) ; le vecteur dont les com-

posantes covarîantes sont les nombres ;* = -r — », n est pas autre

•chose que le gradient de la température.

II. Supposons qu'à l'origine des coordonnées on ait placé une masse m. En chaque point P{Xi...Xn)y elle crée un potentiel :

âV dV dV le gradient— — > -^ — > --t — mesure le champ de force créé en P

par la masse attirante m. Les composantes covarîantes de cette force sont les nombres : /

dV m ^ $.

en désignant par U les composantes covarîantes du vecteur OP et par r sa longueur. Dérivons le vecteur y, dont les composantes

ANALYSE TENSORIELLE

•sont les nombres t| ; on obtient le tenseur du second ordre dont les composantes sont rio; = -^ — > considérons ses composantes

mixtes t]** = -r-i et contractons par rapport à l'indice î, on forme ainsi l'invariant

d / . dV \ ^. dv

On sait qu'en dehors des .masses attirantes AF = 0, vérifions-le. On a :

or

d^ àxi

dr^i

dXi

dx,

1 'Hi

r' dXf

i\i dr r* dxi

dr

Qik^'k .

dx

dXi

donc

i dri^ 3 ^Qik^k^i

III. Etant donné un champ de vecteurs 5i, formons le tenseur symétrique gauche :

^ik —•

du ai,

dxi

dXi

Dans l'espace à 3 dimensions, ce tenseur n'ayant que trois composantes distinctes c^^, C23, C31, on le représente par un vecteur contravariant qu'on nomme le curi de x**. Le curl d'un gradient

est toujours nul, car Ç» =

dxi

où / est un scalaire et les ca sont les

différences de deux mêmes dérivées secondes.

Remarquons qu'en général, le curl, ou mieux le tenseur Ctt n'est pas un vecteur ; il ne peut pas être non plus représenté par un -vecteur.

*) Dans ces dernières formules les rc,- ne sont pas autre chose que les composantes conlravariantes du vecteur OP, qu'on ne s'y trompe pas malgré la position de rindice.

•*) Sur la possibilité de cette représentation, voir : Weyl : Temps, Espace, Matîèrei page 37.