CHAPITRE V

Nous avons défini plus haut la notion de continuum n-dimensionnel : c'est l'ensemble des groupes de n nombres (a?i...a?n), ces groupes étant appelés des points, quand les xi varient entre certaines limites. Les nombres xi sont dits les coordonnées du point P{x^...Xn). On peut représenter le continuum au moyen d'autres

groupes de n nombres; alors à chaque groupe {x^...Xn) correspondra un nouveau groupe {x^...Xi^y cela revient à dire que les Xi sont fonction des xtc '.

, Xi — — X% yX-j^, » ,Xnj \l — — X, Ji.»,Tlj \^)

ces fonctions étant supposées continues et dérivables autant de fois que les investigations qui suivent le nécessiteront ; les formules (1) définissent un changement de coordonnées, si le déterminant

fonctionnel — ^T"'^ — ' J^ est différent de zéro ; les équations (1)

U[Xi^ t , » 3 ji)

peuvent alors être résolues par rapport aux xi^ soient :

Xi — Xi yX^. . .Xji) \l — 1, Z,...Tl) \^)

les formules de résolution, les xi (x-^,..Xn) étant encore des fonctions continues et dérivables.

La notion de multiplicité vectorielle linéaire attachée au continuum suivant les lois définies au chapitre I perd ici son sens. En effet, les différences des anciennes coordonnées y» — a?» de deux

points QCy») et PiXi)y ne sont plus en général des fonctions linéaires des différences des nouvelles coordonnées y* — Xk ; par conséquent,

il est absurde de parler du vecteur PQ dès Tinstant où l'on admet que les fonctions des seconds membres des équations (1) sont quelconques. Toutes les définitions et leurs conséquences : tenseurs, algèbre tensorielle, etc. perdent aussi leur sens. Néanmoins la transformation quelconque (1) entraîne une transformation linéaire de certaines séries de variables attachées au conlinuum, et avec quelques modifications, il sera possible d'appliquer à notre nouvelle notion, les considérations développées dant le premier chapitre. Il est essentiel pour la clarté de ce qui va suivre de dire en quelques mots quels sont nos desseins. Jusqu'ici nous /avons étudié les continua ponctuels au moyen d'équations qui restaient invariantes pour toutes les transformations linéaires des coordonnées ; ce que nous allons tenter c'est une étude de ces continua au moyen de notions et de formules qui resteront invariantes pour toutes les transformations (1) des coordonnées.

Soient deux points P et Q dont les coordonnées sont respectivement les nombres Xi et XiH-da?»; les formules (2) leur confè-* rent de nouvelles coordonnées Xi et Xi-hdxi [puisque les fonctions Xi {x^,.,Xn) sont continues], et l'on a bien évidemment :

dùCi

dxi^^-^dxk ,(î=l...n) (3)

k=i àjTk

dxk='^-^dx, Cfc = l...n) (i)

Ces équations sont linéaires en les dxi comme en les dxk. Re-

ôx • ôx •

marquons que les coefficients aj = -r-^ et 6» = ——1 dépendent

^^* dxk

du point P puisqu'elles sont des fonctions soit des x, soit des x ; c'est pourquoi, pour l'instant, nous allons porter notre attention sur le point P(x) et sur tous les points Q(x + dx) . Il est facile de faire voir tout d'abord que les formules (4) définissent bien la transformation inverse de la transformation linéaire définie par (3), il

suffit de multiplier les deux membres de (3) par -r-^ et de sommer

OXi

par rapport à î, il vient :

54 nrTBODcrcrTioif au clulcvl tensoribi^

mais

dXi dxk àxk ^ ^ SI i — fc

pnisqoe te» or» sont des yariaMes iiMiépendastes. L'on a donc bien z

Les coefficients des transformatioBS linéaires (3) et (4) sont dono liés par les^ relations :

et, comme on le voit aussi aisément, par les relations :

fr

qui sont analogues aux relations (15) et (16) du chapitre"!.

Au point P(x) on fait donc correspondre l'ensemble des points Qix-^dx) dont nous dirons qu'ils sont infiniment voisins de P" sans qu'on doive attacher pour l'instant à ce mot aucune signifî-^ cation quant à la distance des points P et Q ; les nombres dxi sont les coordonnées relatives de Q par rapport à P dans le premier système de coordonnées considéré. Les coordonnées relatives de Q" par rapport à P, se transforment linéairement ; elles forment une série de variablea (dx^,,.dxr,) dont nous dirons qu'elles sont les

composantes contravariantes du vecteur PQ ; (nous les disons contravariantes pour que nos dénominations coïncident avec celles que nous avons introduites pour les continua linéaires). L'ensemble

des vecteurs PQ, Q étant infiniment voisin de P, est une multiplia cité veetorieUé linéaire.

Considérons maintenant une fonction f(x^ . . .Xn) du point P ; si Ton change de coordc^inées par les relations (1), elle devient unefonction 7(x,,...arn) et l'on a :

m=^Kx).

MULTIKJCrrÉ PONCTUELLÏ QVELCONWE 55

En Q(x^dx), la fonction vaut f-hdf, ou avec les autres coordonnées f'\-df;

mais puisqu'on a :

df=zdj ou :

on en déduit que les grandeurs fi = -3 — » et les grandeurs dxù for-

ment deux séries de varrables conîrotgrédîentes.

Les /♦ sont donc des variables cooaricmies, puisque nous disons que les dxi sont des variables contra variant es.

L'on a d'ailleurs :

<^^. ~ dxk et :