Dpî

dxi

Plus généralement^ nous dirons qu'un ensemble de nombres (Ç\..Ç") attachés au point P{x), donc fonctions des Xi représente les composantes d'un vecteur contra variant, si, par un changement de coordonnées (1) et (2), ils se transforment en des nombres (Ç^..f*) suivant les formules :

k àlcjc

et les nombres (Tii...Tin) qui se transforment en les nombres (r\^,..i\n) suivant les formules :

k dxi

âXi

i àxk

sont dites les composantes d'un vecteur covariant attaché en P. Dans les transformations précédentes, il est bien entendu que les dérivées partielles sont prises avec les valeurs qu'elles ont en P.

En fait et pour résumer, les variables contravariasites se transforment comme les différentielles des coordonnées et les variables covariantes se transforment comme les dérivées par rapport aux coordonnées d'une fonction du point P(x).

Il est dès lors possible dans un continuifm quelconque de développer une algèbre tensorielle, mais il faut bien insister sur ce point essentiel, c'est que cette algèbre est toujours relative à un point bien déterminé du continuum puisque les coefficients af et Pf des équations (1) et (2) dont les relations forment la clef de toutes nos déductions, dépendent des variables x» (ou xi). De même qu'il est impossible de parler de deux vecteurs identiques* attachés à deux points P (x) et S (y), il est absurde de parler de deux tenseurs identiques du second ordre covariants, relatifs à ces deux points P et -S.

Nous n'avions pu achever l'algèbre tensorielle dans une multiplicité linéaire qu'en introduisant une métrique. Pour achever celle dont nous venons d'esquisser les prémisses, il suffit de définir la longueur d'un vecteur de la multiplicité linéaire- vectorielle que nous avons formée avec les vecteurs qui joignent un point P aux points infiniment voisins. Nous n'insisterons pas sur les raisons qui ont poussé Riemann à définir la distance ds qui doit être un invariant des deux points P(x) et Q(x -h dx) par la relation :

ds^ = ^ Qikdxidxjc (A)

où les Qik sont des fonctions de P, telles que le déterminant [ gf^jfc I = y, soit différent de zéro, sauf peut-être en certains points qui sont précisément dits points singuliers du continuum et que nous excluerons toujours du champ de nos investigations.

•) En effet, dire par exemple que deux vecteurs en P et S sont identiques quand ils ont les mêmes composantes dans un certain système, ne serait pas une définition invariante puisque dans un autre système de coordonnées, ces composantes ne seraient plus les mêmes, précisément à cause de la variabilité des *^^ et des Pi avec le liey.

MULTIPJ.IGITÉ PONCTUELLE QUELCONQUE 57

En définitive, le carré de la longueur du vecteur PQ [P(x) et ^ (j? + dx)] dont les composantes sont les différentielles dxi est une forme quadratique de ces différentielles ; les coefficients de cette forme sont des . fonctions du point P, c'est-à-dire des variables x^:..Xn>

Que devient cette définition lorsqu'on change de coordonnées ? Puisque les différentielles dxi sont des fonctions linéaires des dxh, la forme quadratique (A) des dxi se transforme en une forme quadratique des dxû appelons ^ik {x^'.,Xn) les nouveaux coefficients; puisque l'on a :

^Qikdxidxjc = ^gikdxjdxh

on tire, d'après (3) : - \ .

i^k àx^ dxt ' i.k

Ces deux formes quadratiques étant identiques, on a, en identi- Oant les coefficients de dxrdxt :

'^ dxi âxk -

ik ox^ ÔXt

En chaque point P{x), les gih se transforment par coranance. En

d'autres termes, la métrique du continuum est déterminée en

chaque point par un tenseur covariant du second ordre dont les composantes sont des fonctions de ce point.

L'angle 6 de deux vecteurs PQ et PR où

P{X^.,,Xn), Q(^i + dXj^,,..Xn-{- dXn)^ Ct R(Xi 4" 5^1 ....X» -j- SXn)

sont trois points infiniment voisins, est par définition — et par analogie — donné par la relation :

gncdxihxic cos 6 =

>/gikdxidx]c . gik^XihXh

A l'exemple de M. Weyl, nous dirons que le vecteur contravariant (ï^...?**) attaché en P{x) détermine un segment dont la mesure est donnée par le nombre

58 IIfTRO»UCTK)N AV GALCUL TENSOiUEL

Si rbn pose ?i = . >] gikl^, Ton voit sans diffictilté que ces.

nombres li se transformesit par cavariance ; Vou dira qut les ^ sont ies composa^nles codrarranfes du vecteur dk)nt ks ^ sont les. composantes contra variantes.

L'algèbre tensorieHe est ainsi parachevée et il est poseibfe de^ répéter ici tous le» résultats des cha{>itrfs 1, II, iil. QuasEut à Faïaa* lyse tensorielJ>e, nous ne pouvons pas la cak^uer sans auftre sur le chapitre lY puisque nous ne savons, pets reconnaître l'égaUté de deux vecteurs attachés en deux points différents ; or cette ccnat naifesance est à la hase même, avons-nous vu, des concepts del'analyse tensorielle.

La définition très abstraite, du continuum que nous avoti»^ donnée plus haut sera rendue plus claire si nous rappelons lesrésultats essentiels de la théorie des surfaces.

Imaginons dans l'espace linéaire à trois dimensions, un système de coordonnées rectangulaires par rapport auquel tout point de respa;ce est caractérisé par les trois nombres », y, z. Deux points inflniment voisins (x,y,z) (x -h clx, y -f- dy, z -f- éz) détermineifrt un vecteur dont la longueur ds est donnée par :

rf«» = dx^ -h dy» -+- dz^. (5)

Une surface est le lieu des gpints (af, y, z) qui dépendent de deux paramètres par les relations :

a:= /(h:,î^) y = g(ij,,u) z •=• h(ii,v)

Les fonctions f,g,h étant telles que les trois déterminants fonc-

, D{x,y) D'y,z) />(2.,.a-| tionnels -77; — ^» -— — -• -777 r- ne soient pas nuls à la fois-

0(u,v) D(UyV) D{iir.v)

A chaque couple de valeurs u et u comprises dans certains intervalles correspond uç point de l'espace, le lieu de ces points est une surface. Donc une surface est un continuum à deux dimensions.

On sait que le plan

MUI.TIPLIGITé PONCTUELLE QI7ELGCM«QUE 59^

est le lieu des droites qui passent par le point (u,u) et par tout point infiniment voisin (rt-hdu, v-hdv). Dans ce plan, il est possible d'imaginer. une multiplicité vectorielle linéaire à deux dimensions, les vecteurs y ont des composantes l^ et Ç^ qui se translomifeiit comîme les du et les dv lorsqu'on change de coordonnées. BT et ?; |iar des relations quelconques :

Les vecteurs de base du système de coordonnées dans le plan sont des vectears portés par les 2 droites qui supportent l'une le

vecteur PA, où A est le point (u-hdu,v) et l'autre PB, où B est le point (o,trH-<fe).

La métrique de la surface est donnée par la iorme (5) où l'on remplace dx, dy, dz par leurs valeurs :

, de . djs . ,^.

dx = -r— du H av, etc. (6)

ou do

Cette forme devient :

di^ = Edu^ -4- 2Fdudv -f- Gdt?» ,

où

âx dx dy dy dz dz da do du do du do

Si Ton pose u = ar, , v = jc^j, on a Qn^ E, gi2 = 0^31 = ^r g^=:G. Le déterminant \^ijt\=EG — F^, est différent de zéro, car, en vertu de Videntité de Lagrange, il est égal à la somme des carrés des trois déterminants fonctionnels auxquels il a été fait allusion plus haut ; puisque ces trois déterminants ne sont pas nuls à la fois, j gfifc I 7^ o.

Soient trois points dans l'espace :

P(a:,y,2), Q(x-h dx, y -h dy,z-\- dz), i?(x4- Sx, y + 8y, zH- Sz), l'angle a des deux vecteurs PQ et PR est donné par la relation :

cosa= ==^=^==^' (7)

\/j^ dx' • ^ oV

En supposant que l«s trois points soient sur la surface, Q étant le point (u + du, v-\-dv), R le point (u+Su, u + Si;), Tangle a des

deux vecteurs infiniment petits PQ et PR situés sur la surface, ou si l'on veut encore, l'angle des deux droites qui, dans le plan tangent en P à la surface, passent par P,Q et P,R est donné par l'équation :

Eduhu H- F(duZv H- dvZu) -f- GdvBv

cos a =

ds.^s

comme le montre la formule (7) où l'on remplace lei^ dx par leur

âx àx

valeur (6), et les Sa; par -r— ou n — r— 8v.

Ou do

L'aire du triangle infinitésimal PQR tracé sur la surface est,

aux infiniment. petits du 4® ordre près :

do = ~ dsZs sin a.

Cette aire s'eipcprime au moyen des gftfc, c'est-à-dire au moyen des E,F,G ; on trouve en effet :

da =^ —■ (du^v — dvou) y/EG—F^

Les formules obtenues restent les mêmes quelle que soit la représentation paramétrique utilisée.

Nous n'insisterons pas davantage sur la métrique des surfaces, le cas est bien classique. Néanmoins rappelons "rapidement certaines définitions relatives à la géométrie globale — et rion plus différentielle — de la surface. Une courbe C tracée sur la surface, est le lieu des points P(u,v) dont les coordonnées sont des fonctions d'un paramètre : '

A la valeur t du paramètre correspond un point P de la courbe, à la valeur t -+- dt, si .9 et oj» sont continus, correspond le point Q(u-\-du, v-{- dv)y avec :

dv = y^\i)dt ; la longueur ds du vecteur PQ est donnée par :

ds"" = H(t) dt^

Soient alors deux points A(t„) et B (t,) de ]n courbe C. Par définition, la longueur de l'arc AB de C est :

i = jds=: jin{i)dt.

De même qu'une surface de Gauss est définie à l'intérieur d'une multiplicité ponctuelle linéaire à 3 dimensions par des équations paramétriques en u, v, de même on peut définir à l'intérieur d'une multiplicité ponctuelle linéaire Mh h k dimensions un continuum C»' à n dimensions (n ^ k) par des équations paramétriques: Soient par exemple (y,...yfc) les coordonnées d'un point M*, et supposons que les coefficients de la forme métrique fondamentale soient les nombres (constants) G^,; la distance ds de deux points infiniment voisins (yi) et (y* + dyi) est donc donnée par :

Supposons que les yi soient fonctions de n paramètres (Xj^...Xn) ;

à chaque groupe de valeurs (Xy^...Xn) correspond un point P(yi...yfc)

de la multiplicité Ma. Le lieu de ces points est un continuum

à n dimensions G».

Soient donc

yi = yi{Xi...Xn) (i = !.../(:)

les k équations de définition de G». Les fonctions y» sont telles que les déterminants fonctionnels — ■ -^ —

JLJ\X-\ m m 'XflJ

Le ds^ qui donne la métrique de G» est :

ds^ = y] gudxidxi

ne sont pas tous nuls. ,

^ IKTRODUCTION AU CAiXUl. TEN§0»IEL

avec

Réciproquement, tout continu C» dont la métrique est donnée par la forme :

peut être considéré comm€ ploBg» dans une mtiltiplicité ponctuelle linéaire Mh (k ^ ri) dont le nombre k des dimensions est à détenniner et dans laquelle par conséquent la métrique est donnée par une forme à coefficients coiistants :

l...k rs

En effet, poxir cela, il faiit déterminer k fonctions yi.-.y* des variables Xi....Xrt, ces fonctions satisfaisant aux équations aux dérivées partielles .:

Ces équations au nombre de ~ doivent déterminer k

fonctions ji. Cette détermination est effectivement possible, la démonstration nous entraînerait, trop ik)in. On conçoit dès lors qu'il fîoit possible de parler d'une multiplicité vectorielle linéaire M» tangente à la multiplicité Cn en un point P{Xj^...Xn), c'est le lieu des droites* qui joignent P aux points infiniment voisins Q(Xi.-f- dxi), cette Mn est définie au moyen d'équations linéaires en les coordonnées courantes Yj^.^.Yk relatives au système employé pour les points de la Mk, ces équations linéaires sont au nombre de A: — n.

Une courbe G, tracée dans le continuum Cn, est le lieu des points dont les coordonnées xi sont fonctions d'un paramètre :

*) Nous s«|]f>oflon6 ici connus les rudiments de la géométrie analytique dHm espace à k dimensions. Dans un tel espace la droite qui joint les points

P(yl...,yl) et <?(yf, . . .. yj)

a pour équations paramétriques :

c'est un continuum à une dimension.

MVt.TlPSJfCrTÈ PONpTOBLLE QITCLGONQIUE 63

Xi = Xi{t) (i = l, 2...n)

La longueur de Tare de courbe compris entre deux points A\xi(tQ)] «t B[xi(^ti)] est donnée par l'intégrale :

i = fds = j /Sïï)di

où :

H{t) = 2 ^«[^A(*)]^'i(0^'KO.

Equivalence de deux formes quadratiques de différentielles. Etant donnés deux continua 6« et Cn à n dimensions càacun, «rapportés le premier à un système (Xi.,,Xn) le deuxième à un système (Xi...Xn)y telles que leurs métriques soient définies respectivement par les iormes :

QijcdXidxk et gijcdxidxk,

l'on dit que ces deux continua sont apeliçables l'un sur l'autre ■s'il est possible de trouver n fonctions Xi = Xi(Xj^...Xn)j telles que la première forme quadratique de différentielles se transforme identiquement en la seconde, lorsqu'on effectue précisément la transformation définie par ces fonctions. Les deux formes différentielles sont dites, dans ce cas, équivalentes. Pour que les deux formes soient équivalentes, il faut que les

fonctions x^ix) satisfassent aux équations aux dérivées

partielles :

— âxr âxg

9ik = 9rs -z —• (8)

ÔJCf âxfc

Puisqu'il n'y a que n fonctions inconnues, il faut que les gijb et les Qrs soient liés par certaines relations, indépendantes des

dérivées partielles — 3^»

Nous n'allons pas étudier le problème de l'équivalence po«ur iui-même, nous allons simplement en amorcer la solution ; ce début de solution permet en effet de donner une excellente et rapide démonstration de la cpvariance ou de la contravariaiace

de certaines fonctions qui s'introduisent très naturellement dansle cours ultérieur de nos recherches.

Calculons les dérivées secondes — __ * ; Christoffel a proposé

dXràXg

une méthode dont voici les détails : dérivons les deux membre»^ des équations (8) par rapport à xi, en ayant égard au fait qu&

df{Xi.,,x^ wi df dxr df âxr z = ^ zr = ZT'

dXi r àXr kÔXi ÔXf. ÔXi

en supprimant le signe ^J. Il vient : '

àgik àg^ dxt dx^ dx,

"ir- = z — ir-z: — ^9rs

dxi âxf dxi âxi dx^

(d^Xr àx â^Xg dx^ \

dxidxi âxjc dxftdxi dx^ /

Calculons de même — ^ et ~- ; en changeant convena-

dxfc dxi

blement les indices mu<^s pour pouvoir grouper ensuite convenablement les termes et en remarquant que 9r$^^' = grs^"'y quel que soit le tenseur cé^, on trouve :

^9ii ^9rt ^^'* ^^r àXf / d^Xg âx^ , d'Xr à:tg \

"zr = -^ = =: — zr-^9rs[ -tz^-h — rr }

dxk dxg dxk àxi dxi \ dxidxjt dxi dx^oxi dx^ /

à'gki 'àgt, dvr àxg dxt / d-x, dx^ ^ d^r^ àr,

- . 9rs\

dxi dx^ dx'i dxfc dxi

l O'x, ax^ o'x^ ax, \

( — - — zr "^ - — z~ ) \ dxkdxi âri dcjdx^ àxj. /

Additionnons ces trois équations membre à membre et posons pour abréger :

^ / àgjk dgu ^ dg "* \ dxi dxk dx

9kl \ r \k n

* / àg„ dgrt àgu\, f *1

Ces fonctions se comportent comme les composantes de tenseurs du 3® ordre, covariantes pour les trois indices, relativement à toute transformation linéaire des coordonnées, ce ne sont donc pas des tenseurs au sens que nous donnons à ce mot, dans la géométrie riemannienne. Remarquons que :

Nos calculs donnent alors :

^\ki,î = 2 \st,r —^7- — :: — — -^^9r3 ^ 1 — — ' (9)

dxit djb'i dxi dxjidxi dx^

divisons par 2 et multiplions les deux membres par g ■ ^ • , puis sommons par rapport à m. Remarquons alors que :

-wi» OXn OX.