Tr---=r
ur
dXy^ dx et que
r'9rs = 5ï,
il vient alors :
dXf,^ dx/cdxi ^Xfc dxi
Posons maintenant :
aP
les, Fag' sont covariants en a et p et contra variants en 8 pour des transformations linéaires de coordonnées. Comme d'autre part :
^ï -, = ^ ^ > dxjfdxi dxf^xi
nos équations sont résolues par rapport aux dérivées secondes et l'on a :
-h r^i"* -3; :^ = Ta/ -17- • (10)
€t de même
dxkâxi dxk dxi dXfn
^^^u r u ^^« ^^t -= m dXu ,|.v
lit —n =7- = Ui ""zr * v*^;
^^;,(^x; àcfc dxi dx^
Nous allons écrire maintenant que ce système d'équations aux dérivées partielles du second ordre est intégrahle, il faut exprimer pour cfila tout d'abord, que l'égalité :
Calcul tensoriel. ^
66 INTKODUCTION \U CALCUL TENSORIEL
djicàxidjr^ dx^àxiôxi
est une identité. Dérivons donc les deux membres de (10) par rapport à x», ceux de (11) par rapport à xi et soustrayons membre à membre les équations obtenues ; en tenant compte de (12), il vient :
dXxt'* dx, ôxf dcr ôTst^ àx, dXf dx^ d^Xg dxt
' ' -^1 — 'S z" — ~ ""zr "n — ^ * « ' — ;^
dXf, dxjc dxi dxi ôx^ dxk dx- dxi dx/fdxi dxr
d'Xf dxt
dxkdxi ôxi
à\ki àxu dïf,i dx,, -r m à^Xu - ^ d^Xu
= __- — — — j-r^/ .-- — -^ — Vf.r-^ — ;::•
âxi âxm dxi dxm dxmdx^ dxtndxi
Changeons les indices muets dans la 1" ligne et remplaçons les dérivées secondes par leurs valeurs (10) et (11). Il vient :
àTgr"* àTst^ \ àXj, dXr ÔXf ^ ÔXf dxp dt.
dxt dx^ / dxk dxi Oxi âxi âXu dxi
dXi dxft dxi àxm àxi dx^ dxi
— / ^*ki àTki \ dx,
\ d£ dXi f Sxi
dx^ dx^ dxm dxi àxm Oxi
Les deux derniers termes de chacun des membres s'entre-détruisent lorsqu'on les fait passer tous dans un même membre. En chan-
âx
géant les indices muets et en mettant en facteur les dérivées —3^,
il vient :
^r„" dr.t'' ^r ir.u r ,p.ul ^^- ^'^r àx,
dx^
L àxt dx, ' } ^j
dxjt dxi dxi
= I — r T- -^ TkfT.i*' - Tki^Tsr --zr • i
■- djui dxi -1 àxn I
Dans chaque crochet, on trouve des fonctions qui se forment à partir des ga ou des^r» de la même manière. Posons pour abréger :
Tëquation qu'on vient d'obtenir s'écrit alors :
Av^i±i^ = 7?*"..„.-^. (14)
âXfc àxi dxi dx^
Enfin en posant :
et eh remarquant que
dxu dx^ -
Quv — ^;^ — 3^ — Çujf Jx^ dXj
il vient, après multiplication des deux membres de (14) par g
èx.
et sommation par rapport à u et u :
j. dXs âx^ dXj, dxt -.
dXj dxfc êxi dXi
Les fonctions Rsv,rt (et Rjk,ii) sont donc les composantes cova- RiANTES d'un champ de tenseur du 4* ordre, qu'on appelle le tmseur de Riemann, Les fonctions Rm'^,h (et Rk^,ii) sont des composantes du même tenseur, elles sont trois fois covariantes [en $^r,t (ou en fc,Z,i)] et une fois contravariantes [en u, (ou en v)].
C'est là le seul résultât de la théorie de l'équivalence de deux formes, qui nous sera utile.
Propriétés des symboles de Chbistoffel et du tenseur de Riemani*
D'après leur définition, les symboles de Christoffel de première
espèce i I (= ra,0 sont symétriques en i et k. Ce ne sont pas
des tenseurs covariants car les formules de transformation (9) montrent que les fonctions ï.ik,i se translorment par covariance, seule-
à^Xg ment si — - — 3- = o, c'est-à-dire seulement si les formules de
dxk âxi
transformation sont linéaires.
= .9^^ I / |(= ^\k) ^st symétrique en i et fc; ces fonc-
ik r tions sont covariantes en î et fc et contravariantes en r pour des
transformations linéaires de coordonnées. Il y a r symboles
de Christoffel de F® espèce et autant de seconde espèce ; en effet les nombres de combinaisons avec répétitions de n lettres deux à
deux est , c'est le nombre des groupes îfe ; or avec chacun
de ces groupes on peut former n groupes i,fe,Z, ce qui en donne
bien en tout
et
Nous pourrions écrire suivant la convention sur les expressions symétrique:^ par rapport à deux indices, T/^ au lieu de F,/; mais puisque ce livre est une introduction au calcul tensoriel, nous n'utiliserons pas cette convention à propos des symboles de Christoffel, dans lesquels nous aurons très souvent à monter ou à descendre le 3® indice.
Nous avons reconnu que les symboles de Riemanri sont bien les composantes d'un tenseur du 4® ordre. Voyons les propriétés des composantes 4 fois covariantes : Rêv,rt (qu'on écrit parfois (sir, rf)). Puisque :
on se rend aisément compte par un calcul simple en se référant à l'expression de /?,",r/ (qu'on écrit aussi { su\rt })que :
n disr^v àlst.v , r - r i r ri nsv,rt = — r -r h ï 8t,i Ter* — \tr,i Ivr
OU aussi
.. dTsr,v àlst.v r 4 r r * r
ifsv,rt = — rr-- -r— -h ïst^ Ïvrj — Tsr^ Ivt.j,
On a d'ailleurs :
= Jl(J1Eii <^*.9*< à*9»r d^gtv \
â \dxsdxt âxvdxr dxvdxt âXsâXr j
dTsr,v dï,t,v i J à^grv , d*g»t d*g»r d^gtv
d^t àXr
Tous ces développements montrent que
"sVfVt = — -HvSfrty iigv,rt = — Jtisvyiry Jisv,rt = ~+" MirtfVa»
On peut grouper les indices deux par deux, les composantes du tenseur de Biemann sont symétriques gauches par rapport aux deux indices de chaque groupe, mais elles sont symétriques par rapport à chaque groupe.
On voit encore par un calcul simple que les symboles A«,rf jouissent de la propriété cyclique suivante :
' Rtv,rt H- nsr,tv -4- it$t,vr = O»
Le premier indice restant fixe, on permute circulairement les trois autres, la somme des trois composantes ainsi formée est nulle. En vertu des propriétés de symétrie, on peut dire que cette propriété cyclique est vraie quel que soit le rang de l'indice qui reste fixe dans les permutations.
Le nombre des composantes distinctes et non nulles du teaseur de Riemann est un peu plus difficile à obtenir que le nonjbre des symboles de Christoffel. Puisque
on a :
RiiM = o.
Il y a donc r ^ assemblages de deux indices qu'on peut
combiner entre eux pour former des composantes non nulles ; soit * N le nombre Puisque
tiik,lm = rilm,ik'
les groupes que Ton doit prendre dans ces N assemblages sont en nombre égal à celui des combinaisons avec répétition de N objets pris deux à deux, c'est-à-dire :
= if.
Cependant les composantes ainsi obtenues ne sont pas encore distinctes, il existe entre elles les relations cycliques mentionnées cidessus. Parmi ces relations, celles qui proviennent de l'une d'entre elles par la même permutation des indices, ne sont pas distinctes
70 IMmODUCTION AU CALGUX TElfSORIEL ^
puisque, par les relations de symétrie, elles se réduisent toutes à Tune d'elles. D'autre part, celles qui sont relatives à des composantes dont deux indices sont identiques, se réduisent à l'une des conditions de symétrie gauche. Donc toutes les combinaisons sans répétition des n indices pris quatre à quatre, donneront' une relation cyclique ; et il n'y a que celles-là qui soient distinctes ;
le nombre de ces relations est donc de . ^ ^ , •
les M composantes que nous avons déterminées sont liées par ces
relations ; il y a donc :
composantes distinctes du tenseur co variant de Riemann.
Contractons le tenseur de Riemann ; pour cela égalons un indice
inférieur des composantes B.s\rt à l'indice supérieur et sommons
, par rapport à cet indice commun. Si l'on fait « = a, on a, à cause
de la symétrie gauche l\u,Ht = o. Posons alors u = r (le cas u = f,
s'y ramène immédiatement) et écrivons :
/l* yUt = tist.
D'après ce que nous avons vu plus haut (p. 41)
' C'est ce tenseur du second ordiia qui joue un rôle essentiel dans la théorie einsteinienne de la gravitation. Formons
et contractons de nouveau, en posant
R est un i nvariant absolu ; c'est-à-dire que le champ scalaire défini par la fonction R ne change pas de valeur ni de forme, quand on soumet l'expression analytique qui la représei^te^ à une transformation- quelconque de coordonnées.
Donnons l'expression de Rst ; on a d'après (13) :
Le tenseur du second ordre Rst est dit le im^ewr de courbure.
Remarque sur les formes différentielles à coefficients constiznts.
Pour une telle forme les RikM sont tous nuls. Or, si Ton change de coordonnées, les coefficients de la forme métrique ne restent
pas forcément constants, mais les nouveaux Rikjm qui s'expriment linéairement en fonction des anciens en vertu de leur covariance, sont encore nuls. La théorie de l'équivalence de deux formes quadratiques développée plus amplement que nous ne l'avons fait, démontre la réciproque de cette proposition.
Application aux surfaces ordinaires. — Soit une surface de Gauss dont le ds^ est :
ds^ = Edw" + 2Fdudv + Gdv^ On a :
9ii = E^ 9i2 = 02i = P^ ^22 = ^; \gik\ =g = EG — F^
C — /^ iP
n\n -h 1 ) Les ~ = 6 symboles de Christoffel de 1'® espèce sont : *
L 1 J ^ da" \ i \~ t dv' Y i \~ do ^2~dir
^ j~ du 2 do'L2j~2 au' LîJ""^ Ceux de seconde espèce au nombre de 6, sont :
1 dG
do
,11/ OU du do 11) du du do
'*{,EG-l<'^) J2j~ i{EG — F*)
do du (12) du do
^{^EG^t^') (2j ^gG — F^)
1) ^EG-^F') ' 12 n 2(^g3T5)
•) Nous suivons ici presque textuellement les calculs de Blanchi : Vorlesungen tiber Differenlialgeometrie, Teubner, Leipzig, 2*© Aufl. 1910, p. 66.
Puisque — ^^-j^ = 1, il n'y a lieu de calculer qu'un seul sym-
bole de Riemann de 1'® espèce : /Îi2»ia- Calculons-le dans l'hypothèse où F = o
MH^h'{
t do^ t du^ kEG l \ do } \ du
^G~— E— — du du dv dv
Or, dans le cas où /i = 2, on a :
^ia»i2 = ^i2»i2 ( -z: — z — ^rr — ir ) • (^^>
\ dxi dxi dJ-'i dJ^i / C'est en effet à quoi se réduisent les équations (15).
D(X yX )
Or le déterminant fonctionnel J = — J'J est égal, d'après la
D(Xi,x^
théorie élémentaire des substitutions linéaires à l'équation (16) s'écrit donc :
V \9ik\
I '9ik I I 9ik I
La fonction — ^ est donc un invariant dans le cas des surfaces
ordinaires, on l'appelle la courbure totale de la surface au point considéré. Calculons les invariants pour le cas où E = R^ et G = R^ sin^u ; ces deux fonctions sont les coefficients de la forme métrique de la sphère de rayon /?, quand on prend la colcditude u et la longitude v comme coordonnées. L'expression de /?i2>ia devient :
,12 = /?* I — cos 2u -h -; — r-r~- * sin^ 2ii 1 = R^ sin? u L 4 sm^ u J
or g =^ R^ sin^u ; par suite :
9 "■'^' Plus généralement, si R^ et T?, sont les rayons de courbure principaux de la surface au point P, la courbure totale de la surface
en P est ^ et l'on a bien :
