LE DEPLACEMENT PARALLELE D'APRÈS M. LEVI-CIVITA

On doit à M. Levi-Civita la définition et l'application d'une très importante notion pour l'analyse d'un continuum piemannien Cn : celle du parallélisme de deux vecteurs. Dans un très beau mémoire paru dans les « Rendiconti del Circolo matematico di Palerma » (1917), le savant géomètre italien définit ce qu'il faut entendre par les expressions : vecteurs parallèles et déplacement d'un vecteur parallèlement à lui'mêm,e. A vrai dire, en analysant dans le détai) le mémoire que M. Levi-Civita a publié en collaboration avec M, Ricci, en 1901 dans les « Mathematische Annal en » (Bd. 54), je crois qu'il ne serait pas difficile d'y dégager déjà la notion de parallélisme. M. Hadamard a remarqué dans les conférences d'analyse de mémoires mathématiques, qu^il préside au Collège de France, que Darboux, grâce à ses travaux sur la courbure géodésique des surfaces et à l'aide de la méthode du trièdre mobile, utilisait déjà cette notion pour les surfaces ordinaires sans d'ailleurs qu'il en eût dégagé toute l'importance. Mais la caractéristique du mémoire de 1917 c'est que l'idée mathématique est dégagée avec beaucoup de netteté et que l'importance du grand nombre des résultats ne le cède en rien à l'élégance des méthodes analytiques employées. M. H. Weyl dans ses leçons sur la théorie de la relativité, a retrouvé les résultats essentiels de M. Levi-Civita par des considérations purement intrinsèques et en particularisant la définition très générale qu'il a donnée de la métrique*.

•) Voir Weyl. T., E., M., ch. II. La connexion affine.

Nous développerons ici la méthode de M. Levi-Civita. A un point P{Xi...Xn)i d'un continuum rien^annien Cn nous savons qu'on peut rattacher une multiplicité linéaire vectorielle Af « à n dimensions, chaque vecteur étant déflni dans Mn par^ ses composantes contravariantes ($^..W ou par ses composantes covariantes li=gikV'; géométriquement cette multiplicité Mn n'est pas autre chose que la multiplicité, linéaire tangente k Cn en P ; elle est formée de tous les vecteurs tangents en P à toutes les courbes que l'on peut tracer dans Cn et passant en P. Soit un second point, Q(yi...y») de C» ; quand peut-on dire que le vecteur (11^... t)") attaché en Q est parallèle à un vecteur (X^...l^) attaché en P ?

Une définition qui répondrai^ immédiatement à cette question ne serait pas conforme à l'esprit de la géométrie différentielle ; pour être conséquent avec les méthodes riemanniennes, il faut procéder de proche en proche et définir tout d'abord — si cela est possible — parmi tous les vecteurs attachés au point Q(xi H- dxi) infiniment voisin de P(xi)\ celui qui peut être dit parallèle au vecteur (l*). Comme on le sait depuis l'invention du calcul infinitésimal, tout le reste nous sera donné par surcroît.

Voici alors comment nous allons procéder. Ti^açons une. courbe L dans Cn ; soit P{xi) un point de cette courbe et a un vecteur quelconque fixe de la M» attachée à P ; dans cette M» prenons encore un vecteur Xp de composantes ($*) ; déplacer xp parallèlement à lui-même le long de L de P(xi) en Q(xi-f-dxi), où il devient le vecteur Xq , c'est précisément trouver parmi les vecteurs de la Mn attachée k Q, le vecteur Xq tel que l'angle que fait a avec Xp soit le même que l'angle que fait a avec Xq , et tel encore que la jnesure du segment déterminé par ce vecteur x q soit égale à la mesure du segment déterminé par le vecteur Xp. Si l'on continue ainsi de proche en proche, on déterminera en chaque point R de la courbe L un vectelir dont les composantes sont des fonctions du paramètre qui caractérise le point de L considéré. Ce sont ces fonctions qu'il s'agit de déterminer par les conditions différentielles que l'on vient d'énoncer.

Pour plus de commodité, nous utilisons un espace linéaire M^ k N dimensions dans lequel Cn est plongé, et tel que la métrique y soit définie, par rapport à un système cartésien toujours aisé à trouver, par la forme :

ds^ = dz{^ -h dz^^ -h ... -h dzs\

LE DÉPLACEMENT PARALLÈLE d'aPRÈS M. LEVI-GIVITA 75

chaque point P(a?i...x») de Cn a des coordonnées 2^ v définies par des fonctions :

telles que Ton ait :

le signe ^ indiquant, ici et dans ce qui suit, une sommation par

rapport aux différents indices des z, c'est-à-dire de 1 à jV ; les g ^a sont les coefficients de la forme métrique de Cn lorsqu'on emploie les coordonnées Xi.

La courbe L est définie par certaines équatipns paramétriques :

Xi = Xi(s) (i = l...n)

dans Cnt ou par :

Zv = Z^[Xi(s)...Xn(s)] = Zv(s) (v=l...A^)

dans Mjv

Soit AU point /*<o)(*{o))» un vecteur (Sfoh . • ^U) '> ^ s'agit de trouver des fonctions Ç*(s) qui se réduisent à $ 4) pour s = s (o) et qui définissent un vecteur X qui reste parallèle à lui-même et qui conserve sa longueur Z= \/^ifcÇ*ï*. Cherchons les cosinus directeurs de x par rapport aux axes cartésiens de M-^^

Les composantes ?* sont proportionnelles aux différentielles des

coordonnées '~Trdt, d'un point P qui se déplace infiniment peu le

long de la courbe de Qn dont x est la tangerite ; les cosinus directeurs Àj.../N sont proportionnels aux différentielles correspondantes des Zi...zn •

(XiZ\ cfz^ ClZ-y^

mais puisque :

r^ dz^ dxi

^■" n.f- fis

-et que

dxi ds

Jl $8 Jn

dxi dx2 , û^a-n ,

as — 1^ — as — - — as

ds ds 4s

on a : ^

mais les X^ étant des cosinus directeurs, on doit avoir : et par suite :

c'est-à-dire, d'après (1) . .

ik ^ç» * k tk

donc, en prenant le radical , positivement :

Soit alors un vecteur fixe f attaché à P, dont, les composante» soient (9^..©'*) ; les cosinus directeurs de f sont

L'angle A que forme f avec x est donné par l'équation :

cos A == oPvXv.

Or lorsqu'on passe de P{s) en Q{s-Jr ds), les fonctions l* augmen-

tent de —7- ds, le nombre gijcV'V restant constant. Ecrivons que

pour cette variation, l'angle A reste constant, ce qui revient à dire que : d (cos A) = o, ou encore,

mais

dK * i { %r\ àh, dxk .. ^ àz, rf^

-^ dxidxk ds ^ dxi

ds ^9ik^'^^ l ik àxiàxk ds ^ dxi ds

LE DÉPLACEMENT PARALLELE D APRES M. LEVI-OIVITA i i

et, en revenant à la formule (2), après avoir remplacé les p en fonction des © :

Cette égalité doit être satisfaite quels que soient les 9*, c'est-àdire quelle soit la direction f choisie dans Mn en P*). Par conséquent :

I ^ dx.dxk dxj ds ^ dxi dxj ds )

Mais puisqu'on peut intervertir les signes ^ et ^3 et que Ton a :

*^ dxi dxj " ^'' on tire :

[i/f 1 ç ^'Zy dz^ j J """^ âXidxk dxj

Par suite (3) s'écrit :

rfï» r ik 1

^ ds ^'

Résolvons ces équations par rapport aux dérivées —^ — ; pour cela

il suffit de multiplier par g""^ et de sommer par rapport à y ; il vient

immédiatement :

rf?'' ( ÎA ) ,. dxk

ds i r \ ds ou

Ces équations forment un système différentiel linéaire qui définit les n fonctions Ç*(s) ; les coefficients sont en effet, des fonctions de s quand la courbe L est donnée, et le théorème de Cauchy nous apprend que si P(o) est un point régulier pour, lés coefficients de ce

*) Il est clair que si l'on écrit d (cos A) = pour toutes les directions de Mn, on - retrouvera la définition ordinaire du parallélisme dans un espace euclidien.

système, il existe une solution et une seule qui prenne en P^o\ <tesvaleurs arbitraires. Le problème posé est donc résolu ; la définition que nous avons donnée du transfert par parallélisme d'un vecteuir d'un point/ au point voisin, permet d'établir une correspondanceunivoque et linéaire entre les vecteurs des multiplicités linéaires Mn attachées aux différents points d'une courbe C.

Démontrons que, si un vecteur r\*{s) qui dépend du point de la courbe où on le considère, forme avec le vecteur l\s) un angieconstant, les fonctions t]*(s) satisfont aux équations :

ds 1 i i d$

qui défîniêsent précisément le déplacement parallèle du vecteur t]*. Ce n'est évidemment pas restreindre la généralité de la démcHistralion que de supposer que les deux vecteurs Vis) et t]*(s) déterminent deux segments de longueurs égales à un :

gihVV' = 1 sftfc^S* == 1 •

Puisque l'angle 6 des deux vecteurs est donné par :

cos ô = gijkïS*

d cos . , , ,

et que — = o puisque 1 angle est constant, on a :

d\* mais -"7- est donné par les équations (4), il vient alors : as

ou :

^'*' ds d* \L * J àx^ J

d'où :

Cette équation doit être satisfaite quels que soient le&-^^satfs-

LE DÉPLACEMENT PARALLÈLE d'aPRÈS M. LEVI-CIVITA 79

faisant aux équations (4) ; or en un point, on peut se donner arbitrairement les Ç*, par conséquent en ce point, Ton doit avoir :

rfr,* r rk 1 , dxr

Ces équations doivent d'ailleurs être satisfaites en tous les points de la courbe L puisque chaque point peut être considé|ré comme point de départ avec des conditions initiales quelconques. Une transformation simple permet de mettre les équations précédentes sous la forme :

ds [ i ) ds

La réciproque est évidente.

Par conséquent : deux vecteurs qui se déplacent parallèlement à eux-mêmes le long d'une même courbe forment toujouh le même angle en tous les points de cette courbe. Nous utiliserons bientôt cette remarque.

Lignes géodésiques. — Une ligne géodésique du continuum Cn est une courbe G telle que sa tangente se déplace parallèlement à elle-même lorsqu'elle passe d'un point de la courbe au point voisin.

Considérons le vecteur dont les composantes sor.t ?* - ^ ; ce

vecteur est tangent à la courbe L ; en écrivant qu'il be déplace parallèlement à hiî-même d'un point à' un autre, on écrit des équations qui définissent les fonctions Xi(s), c'est-à-dire une courbe qui, d'après la définition, est une géodésique.

Ces équations sont évidemment :

ri ] dx^ fht

C 'est-à-dire

ds ( i ) ds ds

d^Xî ( r^ ) dxr dxt

ds^ l i \ ds ûs

d^Xi . dxy, dxt

ds^ ds ds

Ce système différentiel n'est plus forcément liiaéaire puisque les

rt ) / > sont des fonctions des xi qui peuvent être quelconques.

Le théorème de Gauchy nous apprend que ces équations admettent une solution et une seule prenant pour la valeur régulière s = s^

des valeurs arbitraires xi définissant un point de Cny et telle encore

dXi que les dérivées — ; — prennent en s = s© ^s valeurs données

d'avance. Cela veut dire qu'une géodésique est déterminée par l'un de ses points et par sa tangente en ce point.

,^ On peut dire dans un langage un peu vague, qu'une géodésique est une ligne qui conserve sa direction ; à cet égard, elle joue dans le Cn le même rôle que celui que la droite joue dans une multiplicité' linéaire Mn-

Appliquons ces résultats à un exemple simple ; soit une sphère de rayon égal à l'unité ; prenons la latitude x^ et la longitude x, comme coordonnées sur sa surface ; l'élément linéaire est donné par :

ds^ = dx^^ -h cos^Xj^.dx2^ on a :

= j[ = o l \ = sin jCi cos ^1

Les équations du déplacement parallèle le long d'un parallèle :

x^ = const, x^ =

cos JTi

sont alors

- -+- sin jTi cos a?i . r . \ — =

ou :

d^ cos qri

as cos Xi

-h $2 sm Xi =

d\^ .^ sin a-i ^ ds cos'^ Xi

' L'intégrale générale de ce système est :

LE DÉPLACEMENT PARALLÈLE û'aPRÈS M. LEVI-CIVITA

{* =^ i4 cos (y« h- 5),

cos Xi

sin (y* -h fi)

où y^=tgXi. Supposons que pour s = o, on doive avoir 5^ = a, 5* = o, alors

Çi = a cos Y*

COSXi

sin Y^

L'angle 6 que le vecteur déplacé fait avec le parallèle est. une fonction de s, on a :

6 =5 -r- — ys.

Par suite :

= — r= — tgx,.

La dérivée -r- est égale à la courbure géodésique de L au point considéré Oe résultat est général).

Déplacement parallèle d*un vecteur cooariant.

Cherchons les équations qui définissent les composantes covariantes Çi(s) d'un vecteur qu^on déplace parallèlement à l^i-même le long de la courbe L que nous avons déjà utilisée plus haut. Pour y arriver, considérons un vecteur auxiliaire donné par ses composantes contra variantes T)i(s), et qui se déplace parallèlement à luimême le long de L. D'après ce que nous avons vu plus haut, l'angle de ces deux vecteurs ne change pas, en^ quelque point de la courbe qu'on les considère ; or, puisque les mesures des segments qu'ils déterminent sont inaltérée par définition, il s'ensuit que le produit scalaire de ces deux vecteurs est indépendant de la valeur s du paramètre caràctériiant le point de la courbe où on les considère :

iW) = o ;

c'est-à-dire :

d\i . , dr;

Or d'après les équations qui définissent le déplacement parallèle d'un vecteur contra variant, on a :

Calcul tensoriel. 6

*'' r ri <^^*

et par suite, les équations (5) deviennent :

Par suite d'un raisonnement qui a déjà été fait plus haut, il faut que : ^

di- ( lA ) V dxk ^ ds ) r i ** fl^5 ""

Les li(s) sont encore déterminés par un système de n équations différentielles linéaires.

Déplacement parallèle d'un tenseur. — Reprenons la courbe L tracée dans le continuum Cn- Imaginons que, en chaque point P(s) de L, nous ayons fixé un tenseur dont les composantes Odk^m sont des fonctions de s (nous prenons un tenseur du 4® ordre pour fixer les idées, mais nos raisonnements s'appliquent à tous les cas). Comment faut-il choisir ces fonctions pour que l 'on puisse dire que les composantes Oijc^m définissent le même tenseur en chaque point de L^

Considérons pour y arriver 4 vecteurs x, y, z, t attachés en chaque point de L et constamment parallèles à eux-mêmes. Nous définirons tout naturellement les aik\„{s) par la condition que l'invariant : ^

soit indépendant de s. En d'autres termes, un tenseur d'ordre k portant sur k vecteurs se déplace parallèlement à lui-même, si condéré comme une forme k-linéaire de k vecteurs qui se déplacent parallèlement à eux-mêmes, il conserve une valeur constante. Les CLik^ m sont donc définies par la condition :

dA ds

OÙ les l*y Tj^ ^, T*" sont des fonctions quelconques assujetties à la seule condition de vérifier les équations :