LE DÉPLACEMENT PARALLÈLE D 'APRÈS M. LEVI-CIVITA
-t- r,»'- ip-^ = o
(fs (if
L'équation (fi) s'écrit alors :
ds
Cette équation devant avoir lieu quelles que soi.nt les fonctions S^(«), To'(«), Çr(*), "^{s) assujetties seulement aux conditions (7), il faut et il suffit qne :
L'on obtient ainsi un système d'équations différentielles linéaires pour défmir les ^pq^'t^ et le théorème de Cauchy nous apprend que — toutes les singularités étant écartées — les Opq^t sont univoquement déterminées par ces équations et par la donnée des valeurs de ces fonctions pour une valeur arbitraire de s.
Dépendance du chemin; multiplicité euclidienne.
Nous allons modifier très légèrement les équations du déplacement d'un vecteur. Considérons le vecteur aux composantes Ç* attaché en P(x^yX2,'»'Xn) ; soient 5*+dÇ* ses composantes en P'ixjt-hdxje) lorsqu'il a été déplacé parallèlement à lui-même le long de l'élément de ligne PP' ; nous avons bien évidemment :
dV^'^Trt'i'dxt = o (8)
Nous pouvons alors regarder ces équations aux différentielles totales comme définissant les composantes l\x^...Xn) d'un vecteur attaché en tout point de Cn et constamment parallèle à lui-même.
84 INTRODUCTION AU CAI.CUL TENSORIEJi
Mais pour que cette manière de voir soît légitime, il faut que les équations (8) soient complètement intégrables, sinon alors il est impossible de trouver des fonctions 5*(^i--^«) bien déterminées et caractérisant un seul vecteur en chaque point de C»; le parallélisme n'est donc pas univoquement caractérisé en général, et les équations que nous avons données plus haut donnent des solutions qui dépendent effectivement du chemin choisi pour le déplacement du vecteur. Le seul cas où elles n'en dépendent jamais, c'est celui pour lequel les Çik de la forme métrique sont tels que les équations (8) sont complètement intégrables. Or ces équations nous donnent :
di
= -rrz»^
dxi Les conditions dlntégrabilité :
J-( JL\ ^ ±.( Jî.) (9>
dxi \ dxfc ) dxfc \ dxi /
doivent être des identités, quand on tient compte des équations (8). Or :
d dx
de même :
Les relations (9) deviennent alors :
ou encore, eu égard aux définitions du chapitre V :
Cette forme linéaire doit être nulle quel que soît le vecteur x(0, on a donc identiquement :
Rt\ik == o
LE DÉPLACEMENT PARALLÈLE d'aPRÈS M. LEVI-CIVITA '85
OU encore, ce qui revient au même ;
Rikilm = O.
Ces identités caractérisent donc un continuuni où la métrique «st telle que le déplacement parallèle soit univpque. '
Un. tel continuum est dit euclidien.
Si donc un continuum est tel que le tenseur de Riemann qui lui est attaché est identiquement nul, ce continuum est euclidien.
