CHAPITRE VU

ANALYSE TENSORIELLE DANS UN CONTINUUM RIEMANNIEN

Ce n'est que maintenant, , après avoir fait un assez long exposé préliminaire que nous sommes en mesure d'étudier les champs de tenseurs dans un continuum rietnannien Cn-

Un champ tensoriel d'ordre k est donné dans C», quand en chaque point P(Xi.,.Xn) du continuum, on a attaché un tenseur d'ordre k. Les composantes de ce tenseur sont donc des fonctions des coordonnées (Xi...Xn) du point P; nous les supposerons continues et dérivables quand nos calculs l'exigeront.

Pour trouver, dans le cas des multiplicités linéaires, le taux de la variation des composantes d'un champ tensoriel en un point, nous utilisions des vecteurs auxiliaires invariables (voir Chap. IV), Dans, un continuum Cnj la notion de vecteur invariable n'a pas de sens, mais nous avons appris à reconnaître ce que devient un vecteur qui se déplace parallèlement à lui-même d'un point à- un point infiniment voisin; c'est évidemment la notion de vecteur déplacé parallèlement à lui-même qui va remplacer la notion de vecteur invariable, avec laquelle elle se confond d'ailleurs dans le cas particulier où le continuum Cn dégénère en une multiplicité linéaire.

Considérons alors un champ de tenseurs du k^^"^^ ordre (du 4* pour fixer les idées) dont les composantes sont les fonctions oAi(a?i, a^a, ... a;^). Au point P, imaginons 4 vecteurs quelconques de composantes : 5*, r\jc, %h '^'^ et formons en ce point l'invariant :

A = ai^^,S*T]jfe^zT

ANALYSE TENSORIELLE DANS UN CONTINUUM RIEMANNIEN

Passons maintenant au point P'ixi-hdxi), en déplaçant les 4 vec* teurs auxiliaires parallèlement à eux-mêmes ; en ce point les foQC«* tions cti^m valent :

€t les vecteurs auxiliaires, y ont Respectivement des composantes ;