VECTEURS. TRANSFORMATIONS LINÉAIRES

3 vecteurs. La figure 2 donne immédiatement cette démonstration, moyennant que Ton invoque les propriétés les plus simples du parallélisme.

La commutativitd de l'addition jointe à la propriété que Ton vient d'établir prouve encore que l'addition est associative; c'està-dire que si a, b, c sont trois vecteurs, on a :

La proposition annoncée étant démontrée pour trois vecteurs,on l 'étend aisément par induction complète, et en utilisant les deux propriétés fondamentales de l'addition, au cas de n vecteurs.

Le vecteur, b, différence des deux vecteurs c et a, est un vecteur tel que, ajouté à a, il donne une somme égale à c. Symboliquement, on écrit :

La soustraction est toujours possible.

Enfin, pour achever l'énumération des propriétés de l'addition, disons qu'il existe un vecteur zéro : c'est le vecteur qui, ajouté à un vecteur quelconque a, donne un vecteur égal à a lui-même :

Le vecteur zéro est un vecteur dont l'extrémité se confond avec l'origine.

Si b est le vecteur opposé à a, on a :

a-l-b = o, d'où a = — b. *)

La définition de la maltiplication d'un vecteur par un nombre se déduit immédiatement des règles précédentes : soit a un vec-

teur AB, les vecteurs 2a, 3a, ...n a, (n entier) s'obtiennent en ajoutant a à lui-même un nombre convenable de fois, ce que l'on fait en portant bout à bout ce vecteur sur la droite qui le porte.

Le vecteur — (g entier) est le vecteur qui multiplié par q redonne

a ; c'est donc le vecteur AC tel que q.AC = AB. Le sens du symbole

— à est donc parfaitement clair, p et g étant entiers. Par suite,

si X est un nombre rationnel, la multiplication qu'on vient de définir jouit des propriétés que manifestent les égalités suivantes :

*) Nous appellerons pour abréger rensemble de ces lois : les lois (A).

(X 4- jjl) a = (Xa) -f- (fia) [distrlbnlmté de !'• espèce, par rapport à Faddition-l X ([là) = (X{x) a [îissoclativité.]

X (a + b) s (Xa) + (Xb) [dlstributlvité de 3« espèce, par rapport à PadJition.l

Nous admettrons que ces lois*) sont valables pour des nombres X. réels quelconques. . Le lecteur familiarisé avec les raisonnements les plus élémentaires de la théorie des ensembles linéaires, singulièrement avec les raisonnements, fondés sur la notion de coupure, établira en toute généralité, pour tous les nombres réels, les règles précédentes que nous n'avons démontrées que pour des nombres X rationnels.

Jusqu'à liiaintenant, nous n'avons fait intervenir aucune considération métrique, c'est-à-dire que nous n'avons pas comparé deux vecteurs a et b sous le rapport de leur longueur (au moins tant que ces vecteurs ne sont pas portés par des droites parallèles ou coïncidentes). Le calcul vectoriel tel qu'on le développe ordinairement, introduit à ce point précis les notions de produit scalaire et de. produit vectoriel de deux vecteurs, soit par des considérations élémentaires de géométrie, soit par des considérations axiomatiques. Or pour le-but que nous poursuivons, qui est de préparer l'établissement de la théorie du calcul tensoriel de telle manière qu'on puisse l'appliquer immédiatement, tant à l'étude des multiplicités à plusieurs dimensions, qu'à la physique einsteinienne, il est préférable de l'envoyer à plus tard l'explicitation de ces notions. En effet, ce qui caractérise le calcul vectoriel au sens où l'on entend ce terme dans la mécanique rationnelle classique ou dans la théorie de Maxwell par exemple**, c'est que cet algorithme attire l'attention sur le vecteur considéré comme un être mathématique donné en soi. Or, ce qui nous sera utile plus tard, c'est de connaître précisément les relations des vecteurs avec certains d'entre eux choisis comme vecteurs fondamentaux ou de base, ceux-ci déterminant un système de coordonnées. On peut donc dire que l'on renonce maintenant à ce qui faisait l'originalité du calcul vectoriel pour reprendre les méthodes cartésiennes ; cela n^ veut pas dire d'ailleurs que les tentatives, très heureuses souvent, faites dans beaucoup de domaines avec l'aide de ce calcul, aient été inutiles ; mais

*) Nous appellerons ces lois, les lois (M).

**) Voir p. ex. Coffin : Calcul vectoriel, trad. par Véronnet, Paris 1914.

VECTEURS. — ■ TRANSFORMATIONS LINEAIRES 7

dans certains cas, le désir de concrétiser les expressions analytiques pour leur trouver un sens physique a masqué la vraie nature des clioses *.

Considérons n vecteurs a^, Ha, ..., a» ; on dit qu'ils sont tinéiU' rement indépendants s'il est impossible de trouver n nombres X^, X2, ..., y^n, non tous nuls tels que la combinaison linéaire :

soit nulle. .

Si l'on peut trouver ti nombres X» non tous nuls, tels que l'exprqssion précédente soit nulle, alors un des vecteurs slj est une combiliaison linéaire des (m — 1) autres.

Soient dans un plan, deux vecteurs Uj et Uj, auxquels nous' supposerons une origine commune ; nous admettrons encore qu'ils sont linéairement indépendants, c'est-à-dire qu'ils ne sont pas portés par la même droite indéfinie ; en d'autres termes encore,

Flg. s

Ua n'est pas égal à un multiple de Uj. Je dis que tout vecteur a du plan (Ui, u,) est une combinaison linéaire des vecteurs \x^=^OA, et Ug = OB. En effet (fîg. 3), déplaçons a de manière que son origine coïncide avec l'origine commune de u^ et u^ : a = OC.

*) Voir We^l : T. E. M., page 38. Nous abrégerons de cette manière Touvrago « Tempe, Espace, Matière ».

Menons CA^ parallèle à BO ; on a :

OC = OA^ 4- A^C mais :

OA^ = XjUx

où Xj est un nombre réel, et :

par suite :

a = XiUi + XaU3;

On peut donc choisir dans un plan, deux vecteurs quelG€«ïques, mais linéairement indépendants : tout autre vecteur du plan est une combinaison linéaire de ces deux vecteurs.

En d'autres termes, il est impossible de choisir dans un plan trais vecteurs linéairement indépendants ; étant donnés dans ce plan trois vecteurs. quelconques, a, b, c, on peut toujours trouver trois nombres non nuls tous trois, a, p, y, tels que :

aa + pb -f- yc = 0.

Nous dirons que les deux vecteurs u^ et Uj forment un système de coordonnées^ par rapport auquel le vecteur quelconque a du plan (Ui, Ua) est caractérisé par deux nombres X^ et Xj, tels que :

a = XjUi -H XjUa.

Ce couplé est unique, car si l'on avait eiïcore :

a = X'iUi H-X'aU,, on en déduirait :

(X, — i\) u, + (X^ — Xg u^ = 0,

mais puisque u^ et Ug sont linéairement indépendants :

Aj^ — ^^ A - A» ^— A 2*

Les deux nombres X^ et Xj sont les composantes du vecteur a.

Si, au lieu des vecteurs Uj et Uj, nous utilisons deux autres vecteurs u'i et u'^, pour former un nouveau système de coordonnées dans le plan, par rapport auquel le vecteur a a les composantes X'j et X'a, nous pouvons nous demander quelles relations existent entre ces nouvelles composantes et les anciennes X, et Xj. Pour les trouver» il est nécessaire de connaître les composantes des nouveaux vecleurs de base u\ et u'a dans l'ancien système de coordonnées et

VECTEURS. TRANSFORMATIONS LINEAIRES ^

vice-versa. Soient alors a^i, ai2 les composantes de u'i et ot^i, a^,, celles de u'a :

U\ = a„ Ui -h a^a U,

U'î = *3i Ui + *aa ^2-

Soient de plus pu, Pia l^s composantes de u^ dans le système (u'i, u'a), et Pai, Paa celles de Ua dans ce même système, on a-:

Ua = Pai U'i -h Paa u'a-

Les formules (1) définissent une transformation linéaire qui fait ^correspondre aux deux vecteurs u,, U3 les deux vecteurs u\, n'a-

Les formules (2) définissent une transformation, linéaire aussi, -qui n'est pas indépendante de la première ; en effet, si Ton résout les équations (1) par rapport à Uj et Ua, on doit obtenir les équations (2). Les équations (1) sont bien résolubles, car le déterminant :

*ii *ia

«st différent de zéro ; si cela n'était pa», en effet, il existerait une jaaéme relation linéaire entre les éléments d'une colonne:

ce qui entraînerait l'égalité :

qui est impossible puisque nous avons supposé que u', et u'a ^^^^ linéairement indépendants, comme vecteurs fondamentaux d'un «ystème de coordonnées. Si l'on porte dans les équations (1) les valeurs des Ui données par (2), on doit obtenir des identités ; il faut donc que les ao. et les ^ ,,9 satisfassent aux équations :

*ii Pli + «12 Pîi = 1 ; «ai Pli 4- ttaa Pai =

*ii P12 + «12 P22 = ; «31 Pi3 "H 0^22 Paa = 1

qu'on peut écrire plus abréviativement :

2 ««> ?rk == Si*, (£', fe = 1, 2) (3)