INTRODUCTION AU CALCUL TBNSORIEL

en désignant par le symbole S», le nombre zéro, si i^^K et lenombre 1, si î.= fc. De même, en portant dans (3) les ^eurs des> u'; données par (1), l'on trouve :

2 ?.> ^rk = 5« (l, fc = 1, 2) ^^ (4)'

Les relations (3) définissent les ^a en fonction des a ^^ ; la théorie élémentaire des déterminants nous eût permis d'écrire immédiatement les équations (3) et (4) ; ces dernières, d'ailleurs, ne sont qu'une conséquence des relations (3), comme on le démontre aisément.

On dit que les formules (2) définissent la transformation inversede la transformation donnée par les équations (1).

Reprenons alors le vecteur :

a = X^Ui + XjUa, qui s'écrit dans le deuxième système de coordonnées :

On a donc l'équation :

qui doit se transformer en une identité par rapport à u^ et à u, sh l'on remplace les u'» par leurs valeurs (1) ; le calcul donne :

En remplaçant les u» par leurs valeurs (2), on obtient :

A a = Pia^i ■+" P22^2-

D'une façon plus précise et plus synthétique, on dit que les^eux: séries de variables Xi et u» sont contragrédientes, si après transformation, l'expression

prend la forme

On voit donc que si les variables Ui se transforment par les équations (1), les variables contragrédientes Xi se transforment par les-