VECTEURS. TRANSFORMATIONS LINÉAIRES II
équations (5) ; les coefficients des seconds membres y étant les mêmes que ceux de la transformation (2) inverse dé (1), à cela près que les lignes sont changées eh colonnes et vice-versa.
Les composantes Xj et Xj du vecteur a sont dites plus précisément ses composantes contr avariant es, on dit aussi que dans une transformation de coordonnées, elles se comportent d'une manière contravariante à la manière dont se comportent les vecteurs de base. Nous verrons plus loin une' autre interprétation des équations (5).
Généralisons rapidement ces considérations au cas de Tespace.
Soient dans l'espace trois vecteurs Uj, Uj, Ug tels qu'aucun d'eux ne. soit une combinaison linéaire des deux autres, c'est-à-diré tels cju'^il ne puisse y avoir aucune relation de la forme
aTec des ai non tous nuls. En d'autres termes encore, ces trois vecteurs ramenés à une même origine 0, par translation, ne sont pas coplanaires. Soit alors 0.4 BC le trièdre qu'ils forment (fig. 4) ;
je dis que tout vecteur a (qu'on peut ramener eii OD) est une
Fig. 4
combinaison linéaire de Ui, u^, U3. En effet, menons par l'extrémité D du vecteur a, le plan parallèle au plan BOC, et soit A^ la trace de la ciroite indéfinie OA sur ce plan. Menons enfin dans ce
plan la droite B^D parallèle à OC^ et considérons la ligne brisée OA^BiD, on a :
OD = OA^'hA^B^'hBfi mais :
^^ô^ = X2OB = XjUa
les Xi étant des nombres réels. Par suite : ,
Les nombres X^, Xj, X3 sont les composantes du vecteur a dans le système (Ui, U2, U3) ; ces nombres sont uniques et bien déterminés, car si* par exemple, Ton avait encore :
a = X\Ui4-X'aU2+ X',u, on en déduirait :
et par suite
Xi = X^ (î = l, 2, 3)
Prenons maintenant un autre système de coordonnées ; soient u'i, u'2, u'a, trois vecteurs non coplanaires, et désignons par oiit «♦2» oci3 les composantes de u'» dans l'ancien système :
U'i = aiiUi-|-ai2U2 + ai3U3, (î = 1, 2, 3) (7)
et par pti, Pta» P^s celles de Uk dans le nouveau
Puisque les équations (8) doivent être une conséquence des équations (7), les P et les a doivent être liés par certaines équations que Ton obtient bien aisément en portant les premiers membres de (7) dans lès équations (8) et réciproquement. L'on trouve :
VECÎEURS. TRANSFORMATIONS LINÉAIRES
Les équations (10) sont d'ailleurs une conséquence des équations (9). La transformation définie par (8) est dite la transformation inverse de la transformation (7).
Désignons par X'^ les composantes de a dans le nouveau système ; puisque :
K^i H- K^2 H- X3U3 = X'iU'i -h X'aU'a -+■ X\U\ ,
et que cette égalité doit être une identité en les u'i quand on y remplace les u* par leurs valeurs (8), ou une identité en les Uj. quand on y remplace les u'i par leurs valeurs (7), il s'ensuit que :
X'» = Pifc^i -¥■ Pafc^a + Pafc^j
(fc = l,:2, 3)
X; = aiyX\-|-a.^yX'2 4-a3^X'3 0*==1» 2, 3);
on dit de nouveau que les variables Xi et les variables Ui spnt contiagrédientes, ou mieux qu'elles forment -deux séries contragrédientes de variables. On retrouve de nouveau l'analogie entre la transformation (11) et la transformation (8)^ inverse de (7).
Nous allons généraliser ces notions et bien que la représentation géométrique nous fasse dorénavant défaut pour soutenir l'intuition, nous continuerons d'employer le langage géométrique.
Donnons-nous un ensemble infini d'objets que nous nommerons vecteurs ; définissons V addition de deux ou plusieurs de ces vecteurs» comme une. opération satisfaisant aux lois (A) et la multiplication d'un vecteur par un nombre réel quelconque, comme une opération qui obéit aux lois (M), et convenons que ces opérations appliquées sur des vecteurs de l'ensemble donné redonnent des vecteurs de cet ensemble. Nous dirons encore que k vecteurs a^, aj,»... ax- sont linéairement indépendants s'il est impossible de trouver k nombres, non tous nuls, tels que :
Xj^ai 4- Xjaa 4- ... + XA;aft = 0.
Nous parachevons la définition de notre ensemble de vecteurs en supposant qu'il est possible d'y trouver n vecteurs linéairement indépendants, mais que {n-\-l) d'entre eux, pris arbitrairement soutiennent toujours une ou plusieurs relations linéaires ou homogènes. L'ensemble ainsi constitué est dit une mnltipUcité vectorielle linéaire à n dimensions.
Ces définitions ne sont pas contradictoires, un examen rapide le montre aisément et les considérations qui suivent nous en persua-
