INTRODUCTION AU CALCUL TENSORTEL

cas le plus s-implfief de beaucoup le plus fkmili«r est celui du plan.

Soient dans le plan deux vecteurs ù^, % issus d'un même point 0

(fîg. 5) : 0/li = Uj, O.-la = Ua et suppoSons-Ies de longueur égale à

1 ; désignons par 0 l'angle qu'ilS; forment. Le vecteur 0/? = X a pour composantes contra variantes les nombres ^^ et l^ qui mesurent les segments 0/ij et R^fi. La géométrie élémentaire nous-

montre tout de suite que le carré de la longueur du vecteur x est donné par la formule :

c'est-à-dire que la forme métrique fondamentale est :.

les QiTc sont donc :

S'il = 1. 9i2 = 921 = cos 6, fir„2 = 1.

Les composantes covariantes du vecteur x sont donc :

li = 9ikl

\^ cos 6 ;

\.^ = g^^k = g^^l^ + g.^^\^ = ^ cos 9 + P.

Géométriquement, il est visible que les composantes contravariantes du vecteur 0/? sont égales aux nombres qui mesurent les projections orthogonales de ce vecteur sur les vecteurs de base î-

FORMES BltlPïéAlRES ET QUADRATIQUES

^^ = OBj, ^2 = OB^. Résolvons les équations précédentes par rapport aux l\ il vient :

$«'=•-— -—[$1 - ces 0,?.,], , Hn^ 0 L J

sin^ 0 | J

et par suite 9''

sin* 0

ces 0 sinM)

sin''^ 0

Ce sont bien les mineurs respectifs des éléments gfn, g^^y Qzi' Qz du déterminant :

Il ces 0

9jc

ces 0 1

= sin» 0

divisés par ce déterminant lui-même. On vérifie aisément les formules

1 si iz^k.

0 si i = k.

Cherchons l'angle des deux vecteurs OK.et OQ dont les composantes sont les nombres (?■*) et (ti^). Abaissons les perpendiculaires

des points R et Q sur l'un des axes OA^, par exemple (fig. 5) soient DR et EQ. On a en grandeur et en signe :

OE = Ti, 0D = l,

EQ = r]^ sin 0, DR = ^^ sin G

Or, d'après une des formules les plus simples de la géométrie analytique, on a *:

OD.OE-hEQ.DR ^^ti, + $ V sin- 6

cos a =:

OR.OQ ^gncV-lKgmS^

Remplaçons \^ et tij par leurs valeurs en fonction des V' et V ; il vient :

($' -f- 5* cos OVï)! -+- 7)» cos 0) -h $«T)» sin» 0 cos a =

^Jïi | £ir)2 COS 0 -h iW cos 0 -(- 5^7)2

^gikW-gm\^ giiciS"

\jgiicW.gikr\S^

C'est bien la formule que nous avons donnée plus haut pour l'angle de deux vecteurs.

Considérons le tenseur symétrique gauche 7**= = \\^ — W^ dont les seules composantes non nulles sont :

Formons l'invariant

La racine carrée de cet invariant :

qui s'écrit ici :

est l'aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs OR

et OQ ; on s'en rend compte très facilement en utilisant la remarque * faite tout à l'heure.

*) Il suffit d'imaginer un système d'axes rectangulaires dont l'un est le support de Ui. pour écrire immédiatement cette formule.

FORMES BILINÉAIRES ET QUADRATIQUES 45

Applications à l'espace. — Dans l'espace, on obtient des résul-

tats analogues ; on prend trois vecteurs de base O^i, 0.42, OA^ de

longueur égale à l'unité, soient À, fx, v les angles (0.42, OA^), ->-->--»-->- ->-

(O/lj, OAy), (0.4i, 0.42). Le carré de la longueur d'un vecteur OP

dont les composantes contravariantes sont les nombres :

est donné par la formule :

ÔP' = (?*)2 -+- ($2)» ^ (f3y2 ^ 2 ?'S2 cos V -+- 2 \^\' CCS X H- 2 $«?* ces fi, on a :

yil = ^22 = 5^33 = 1

5^12 = 5^21 = cos V ; g^s = g^^ = cos X, g^^ = g^^^ = cos fi.

Abaissons de P des perpendiculaires PC^^, PC^, PC^ sur les trois axes. Les mesures des segments OC^, OCn et OC3 sont précisément encore les composantes covariantes du vecteur OP. En effet, les deux contours polygonaux OB^QP et OC^P sont équivalents ; projetons-les sur 0/4 1. On a :

OC, = l' + 1- cos v+^'cos IL car l'angle de QP avec 0.4 ^ est précisément [jl.