INTRODUCTION AU CALCUL TENSORŒL

mais, on peut introduire au lieu des ^% par exemple, les ?,. au moyen des relations :

alors :

mais les nombres :

sont les composantes d'un tenseur deux fois covariant et deux fois contravariant. Le. tenseur A change donc de nature; il reste une forme quadrilinéaire des vecteurs x, y, z, t ; nous dirons que les ^Vm sont les composantes deux fois covariantes et deux fois contravariantes du tenseur A et puisqu 'aucune confusion n'est possible, nous poserons 6''a',„ ='a^h'-m- On peut continuer ; puisque

on aura, en posant :

A = 0''ksm'''rr^K''-'"'.

On poursuit aisément et on généralise de même. Un tenseur d'ordre /t peut s'exprimer au moyen de ses composantes k fois covariantes, pu de ses composantes (k — 1) fois covariantes et une fois contravariant e, ou encore de ses composantes {k — 2) fois covariantes et deux fois contravariantes, etc.. Ces différentes composantes sont caractérisées par la position et l'ordre des indices ; mais on passe des unes aux autres, grâce au tenseur métrique, de la manière suivante. Soient / et K deux groupes d'indices, on a pour « abaisser » un indice, la formule suivante :

et pour « élever » un indice, la formule suivante :

ai'' M = ff^OlsM.

. Nous croyons avoir ainsi parfaitement éclairci la notion de tenseur ; la deuxième définition que nous venons d'en donner est plus soupl-e que la première et plus riche d'applications variées. L'ensemble des composantes d'un tenseur est, avons-nous vu, un opérateur qui appliqué à un certain, nombre de vecteurs donne une forme multi linéaire de ces vecteurs ; c'est cette forme qui est le tenseur ; mais par une ellipse commode, il nous» arrivera souvent de parler

FORMES BILINÉAIftBS DT OUADR-A.TIQUES SQ

du tenseur gnc, du tenseur o»'^;,/,, etc... au lieu de dire le tenseur dont les composantes deux fois eovariantes sont les nombres go:, etc., etc..

Symétrie des tenseurs. — Un tenseur d'ordre k est symétrique s'il conserve la même valeur quand on échange' entre eux les vecteurs dont il dépend, d'une manière quelconque. Soit, par exemple, le tenseur aïkilSK^ } s'il ne change pas de vakur quand on échange entre eux les trois vecteurs x, y, z, c'est que l'on a :

(tikl = Clkli = Olik = dkil = Oilk = Olki ',

mais le tenseur donné peut encore s'écrire aju^l^^^i ; si l'on échange de nouveau les vecteurs entre eux, c'est que Ton a :

a';^- = a,'^ = g''g''-'<'ir,

On peut donc écrire sans ambiguïté ''''^ o''' au lieu d'écrire respectivement flifc^ etc.. et Œi^^ , etc. C'est ce que nous ferons dorénavant pour presque tous les tenseurs symétriques *.

En particulier, si Tijc = Th sont les composantes deux fois eovariantes du tenseur du second ordre T, celui-ci adiitettra les composantes mixtes :

Ti^ = Th = Tf .

Nous avons déjà reconnu ces particularités sur le tenseur métrique ; en effet :

....v , 0 (si i:^k.)

on a de même

Oi^^ = a^'

enfin :

Un tenseur d'ordre k est symétrique gauche s'il conserve sa valeur quand on y échange les vecteurs dont il dépend, d'une manière telle que la permutation nouvelle des k vecteurs reste de la même classe, et s'il prend ime valeur opposée (égale en valeur absolue, mais de signe contraire) quand la permutation nouvelle est de l'autre classe.

*) Les remarques précédentes sont générâtes et ne dépendent pas de l'ordre du tenseur symétrique considéré. ,

Prenons encore pour fixer les idées un tenseur du 3® ordre : biulSK^' S'il est symétrique gauche, l'on doit évidemment avoir :

biki = bku = biije = — bkii = — biik = — biki.

Les trois permutations ikl, kli, lik sont d'une classe, et les trois permutations Ml, ilk, Iki sont de l'autre classe. On en déduit que

b^ki = bh = bki^ = — b'ik = — bkh = — bik^ etc. etc..

On peut imaginer d'autres symétries. Nous allons étudier rapidement deux cas ; nous les retrouverons plus tard ; le premier se rapporte à certains tenseurs du troisième ordre symétriques par rapport à deux vecteurs bien déterminés parmi les trois dont ils dépendent. Soient Ci/c^,- les composantes covariantes de ce tenseur C symétrique par rapport aux deux premiers vecteurs, c'est-à-dire tel que :

On a donc :

Cik,r = C/ci,r 5

par suite :

dk' = ckC ; c'*''' = c^'-'" et c^'^r = c^'V.

Nous nous arrangerons toujours à écrire les deux premiers vecteurs avec des composantes de même nature, les deux groupes covariants ou les deux groupes contravariants. Les différentes manières d'écrire les composantes de ce tenseur partiellement symétrique sont donc les suivantes Cik,rt cr^, c^'S t'*''" ; étant donnée la convention précédente, il n'y a donc aucune ambiguïté à craindre.

Le second exemple se rapporte à un tenseur du 4^ ordre, dont ies composantes jouissent des propriétés suivantes :

fikAm = l'khlm = ^'ik, ,nlt

fikjlm ^^ ^Imtik

ce qui signifie que le tenseur R (x, y, z, t) est tel que les quatre vecteurs dont il dépend peuvent se grouper par paires : X, y et Z, t. Le tenseur est symétrique par rapport à chacune d'elles, il est symétrique gauche par rapport aux deux vecteurs de chaque paire.

On en déduit : /•/,!», = r\,i,n = o *.

De plus :

r%im= Rkm •) On a évidemment aussi r,^, ^,,1 = r,,., n = 0.

FORMES BILINEAIRES ET QUADRATIQUES il

•est un tenseur du second ordre ; je dis qu'il est symétrique. Il suffit de démontrer que :

mais cette équation s'écrit aussi :

or d'après les symétries supposées, le second membre s'écrit 9^^^ik,jmi mais puisque 9'^ = g^' on peut échanger i et j qui sont -deux indices muets, par suite ce second membre devient g'-'rjk,im- On a bien :

D'après ce que nous avons dit plus haut, il n'y a pas d'ambi- ^uité à parler des composantes mixtes /?*. En contractant encore une fois, on obtient un invariant R = R'^.

Remarques sur les multiplicités ponctuelles linéaires. ■ — Soit une multiplicité ponctuelle linéaire décrite à l'aide de certaines coordonnées (x,...a?„), l'origine étant le point 0 (0,0... o) et OAj^, 0A2...0An étant les vecteurs de base d'un système de coordonnées, par rapport auquel nous repérons la multiplicité vectorielle linéaire que nous avons appris à adjoindre à la multiplicité ponctuelle. Les coordonnées des points Ai sont nulles sauf la t'^'"<^ qui vaut ui. La métrique de la multiplicité vectorielle étant donnée par le tenseur dont les composantes sont les nombres Qiu, nous nous arrangerons encore pour choisir les Ui de manière que les vecteurs OAi aient une longueur égale à l'unité. Soient alors P(xi) et Q(yi) deux points de la multiplicité, le vecteur PQ a pour composantes conlravariantes les nombres t^ = yi — Xi, le nombre l qui mesure sa longueur est dit encore la distance des deux points P et Q ; on a

l"^ = gikVV' = ^ gik{yi — xi) (y^ — Xk) . Si l 'on change de coor-

ik données au moyen d'une transformation linéaire, la distance de deux points reste une forme quadratique des différences des coordonnées de même rang de ces deux points.

Applications au plan. — Il est temps de faire quelques applications des notions abstraites que nous venons de développer. Le