CHAPITRE IV

ANALYSE TENSORIELLE

Considérons une mulliplicitis ponctuelle linéaire Mn. Un point P

de Mn est caractérisé par n coordonnées x^...a:n, le vecteur PQ, où Q est le point (yi.-.yn) a pour composantes contravariantes les nombres l^ = y-i — xi. Nous avons vu plus haut que nos définitions sont invariantes pour toute transformation linéaire de coordonnées. Supposons que le point Q ait pour coordonnées des nombres très peu différents des coordonnées de P ; disons même que les ji sont infiniment peu différents des Xi * ;

yi = Xi-{- dxi.

Les nombres dxi sont alors les composantes contravariantes ** du vecteur PQ dont la longueur l est donnée par l'équation :

/* = 2 Çikdxidxk

Cette longueur étant infiniment petite, nous dirons que le vec- -> leur PQ est infiniment petit.

Supposons qu'à chaque point P de la multiplicité M„, nous fassions correspondre un tenseur ; c'est dire que ce tenseur est une fonction du point P, ses composantes sont donc des fonctions des

*) On sait quelles conventions implique cette manière de parler, nous n'y insistons pas.

*•) Nous continuons à écrire dx' plutôt que (dx)' ou dxi malgré que les différentielles fussent eontravariantes.

coordonnées (Xi...Xn) et l'ensemble de tous ces tenseurs attachés k chaque point de Mn est un champ de tenseurs. L'objet de l'analyse tensorielle est l'étude des champs de tenseurs.

Considérons tout d'abord une fonction du point P indépendante du système linéaire de coordonnées choisi ; cette fonction définit ua. champ d'invariants ou, comme on dit, un champ scalaire :

I = f(x„...Xn)=f{x),

changeons de coordonnées au moyen des formules

Xi = ^4 Xk -h cLi ; k=i

la fonction f(x) devient une fonction ](Xj^,...Xn) == f(x) ; on a :

Kx)=m.

Les coordonnées du point P sont devenues Xi et celles du point infiniment voisin Q(x -+- dx) sont maintenant a?» 4- dxi, les dxi sont liés aux dxi par les relations :

^^i = ^^idxu.

Or la différentielle de /, c'est-à-dire sa variation quand on considère cette fonction, en P et en Q est :

df = — — rfri H- — — dx^-^ h ~~dx„

oxi ax^ dxn

la variation df de ~j{x) est de même :

dj = —3 dXi -\ — rfFj'-i- i L- dxn

dxi dx2 dx„

cependant df = df puisque / est un invariant, de plus les différentielles étant des variables contra variantes, l'égalité :

±4Ld..=±^dx,

qui montre que les deux séries de variables ( —~ ) et (dx,) sont

\ OXi /

ANALYSIi TENSORIELLE

df

contragrédientes, prouve du même coup que les nombres -r — = fi

sont les composantes covariantes d'an tenseur du premier ordre, ou si l'on veut, sont les composantes covariantes d'un vecteur, qu'on appelle quelquefois le gradient du scalaire /. On a donc :

où fi= — — et où les i' sont les composantes d'un vecteur indédxi

pendant du lieu.

Cet exemple simple nous permet de poursuivre. Soit un champ

de tenseurs du 4^ ordre : aik^m(Xj^...ûen) ; prenons quatre vecteurs

'X, y, z, t, indépendants du lieu et formons l'invariant :

qui définit un champ scalaire. Si l'on change de coordonnées, ce champ prend la forme :

'cLiTlmt\^W^ = J(x, , . . .T„) .

D'après les premières considérations que nous avons faites, nous avons :

dxr = — ^ dXr,

dXr dXr

ou, puisque seuls les Oik^m sont variables :

dXr âx.

Cette égalité prouve^ que les nombres :

daj..

""'"' âx,

sont les composantes d'un tenseur du 5® ordre.

Ainsi à partir du champ tensoriel d'ordre k, on forme, par la dérivation des composantes, un tenseur d'ordre fcH-l.

Puisque les g^k sont des constantes, on tire de l'équation précédente :

■^ '* ' ^ ÔXr âx,.

Calcul tensoii

5^ INTRODUCTION \U CALCUL TENSORIEL

La dérivation et V élévation (ou l'abaissement) d'un indice sont deux opérations commutatives.

On peut donner une forme symtolîque à l'opération de différentiation. Si l'on considère les opérateurs

dxi Jxa ' âXn

comme les composantes covariantes d'un vecteur d, les composantes du tenseur, dérivé d'un tenseur donné, sont les composantes du tenseur produit du tenseur donné par ce vecteur symbolique. - Il est bien évident que l'on peut dériver autant de fois que l'on veut, c'est-à-dire multiplier par le vecteur symbolique d, autant d-e fois que l'on désire.

Nous allons prendre quelques exemples simples dans l'espace à trois dimensions (|iii nous est familier.

I. Imaginons rcsp.uc rempli d'un îîuide dont la température est en chaque point le nombre T {x^...Xn) ; le vecteur dont les com-

posantes covariantes sont les nombres Çi = --r — ^ n est pas autre

chose que le gradient de la température.

II. Supposons qu'à l'origine des coordonnées on ait placé une niasse m. En chaque point P(x^...Xn), elle crée un potentiel :

S ^ik^^-^fc

dV dV âV le gradient -T — > -r — ? —r — mesure le champ de force créé en P

par la masse attirante m. Les composantes covariantes de cette force sont les nombres :

dV m ^ ï..

ÏW"?''*'^^'^

•en désignant par U les composantes covariantes du vecteur OP et par r sa longueur. Dérivons le vecteur y, dont les composantes

ANALYSE TENSORIELLE 51

«ont les nombres ti ; on obtient le tenseur du second ordre dont ntei

les composantes sont mk = -r-^ J considérons ses composantes

mixtes ti*fc = -p- > et contractons par rapport à l'indice i, on forme

OXk

ainsi l'invariant

à / . dV\ ^. Oni

1= r.',. = — ; — iq"'—, — = div y = -t; — = AV. dxi V àxr I ^ dxi

On sait qu'en dehors des masses attirantes AF = 0, vérifions-le. On a :

donc

\ dri

l d^i 3S' dr

m dx^

r-'' dx^ r* dxi

dx, dx^

dxi r '

i dri 3

3 OikX^.Xi 3 3r2

7/1 dxi ?"^

III. Etant donné un champ de vecteurs U, formons le tenseur symétrique gauche :

^ ^àU ^

''' dx^ dXi

Dans l'espace à 3 dimensions, ce tenseur n'ayant que trois composantes distinctes Cjj, Cog, C31, on le représente par un vecteur contravariant qu'on nomme le curl de X**. Le curl d'un gradient

est toujours nul, car \i = — — où / est un scalaire et les Cik sont les dXi

différences de deux mêmes dérivées secondes.

Remarquons qu'en général, le curl, ou mieux le tenseur Cik n'est

pas un vecteur ; il ne peut pas être non plus représenté par un

vecteur.

*) Dans ces dernières formules les x, ne sont pas autre chose que les compo- ->sanles contravariantes du vecteur OP, qu'on ne s'y trompe pas malgré la position de l'indice.

**) Sur la possibilité de celte représentation, voir : Weyl : Temps, Espace, Matière, page 37.