CHAPITRE V
MULTrPLICITÉ PONCTUELLE QUELCONQUE MÉTRIQUE RIEMANNIENNE
Nous avons défini plus haut la notion de continuum n-dimensionnel : c'est l'ensemble des groupes de n nombres (Xj^...Xn), ces groupes étant appelés des points, quand les xi varient entre certaines limites. Les nombres xi sont dits les coordonnées du point P(x^...Xn). On peut représenter le continuum au moyen d'autres^ groupes de n nombres; alors à chaque groupe (Xj^...Xn) correspondra un nouveau groupe iXj^...Xn), cela revient à dire que les Xi sont fonction des Xk :
Xi = Xi (Xi...Xn) (i=l, 2...n) (1)
ces fonctions étant- supposées continues et dérivables autant de fois que les investigations qui suivent le nécessiteront ; les formules (1) définissent un changement de coordonnées, si le déterminant
D(Xi, . . Xn)
fonctionnel — ^;^-— — ' " est différent de zéro ; les équations (1)
DiXi Un)
peuvent alors être résolues par rapport aux Xi, soient :
Xi = Xi iXi...Xn) (i= 1, 2,...7î) (2)
les formules de résolution, les Xi (Xi...Xn) étant encore des fonctions continues et dérivables.
La notion de multiplicité vectorielle linéaire attachée au continuum suivant les lois définies au chapitre I perd ici son sens. En effet, les différences des anciennes coordonnées y» — xi de deux
points Qiji) et Pixi), ne sont plus en général des fonctions linéaires des différences des nouvelles coordonnées yk — Xk ; par conséquent, il est absurde de parler du vecteur PQ dès l'instant oii l'on admet que les fonctions des seconds membres des équations (1) sont quelconques. Toutes les définitions et leurs conséquences : tenseurs, algèbre tensorielle, etc. perdent aussi leur sens. Néanmoins la transformation quelconque (1) entraîne une transformation linéaire de certaines séries de variables attachées au continuum, et avec quelques modifications, il sera possible d'appliquer à notre nouvelle notion, les considérations développées dans le premier chapitre. Il est essentiel pour la clarté de ce qui va suivre de dire en quelques mots quels sont nos desseins. Jusqu'ici nous avons étudié les continua ponctuels au moyen d'équations qui restaient invariantes pour toutes les transformations linéaires des coordonnées ; ce que nous allons tenter c'est une étude de ces continua au moyen de notions •et de formules qui resteront invariantes pour toutes les transformations (1) des coordonnées.
Soient deux points P et Q dont les coordonnées sont respectivement les nombres xi et Xi -+- dxi ; les formules (2) leur confèrent de nouvelles coordonnées xi et xi ■+- dxi [puisque les fonctions j^i iXj^...Xn) sont continues], et l'on a bien évidemment :
dxi = 2 —5- dxk (i = l...n) (3)
dxk='y.--^dx. ik = l...n) (i)
Ces équations sont linéaires en les dxi comme en les dxk. Remarquons que les coefficients o[ = — i- et ^| = — -^ dépendent
^^■^ dxk
du point P puisqu'elles sont des fonctions soit des x, soit des x; c'est pourquoi, pour l'instant, nous allons porter notre attention sur le point Pix) et sur tous les points Q(x-\-dx). Il est facile de faire voir tout d'abord que les formules (4) définissent bien la transformation inverse de la transformation linéaire définie par (3), il
suffit de multiplier les deux membres de (3) par -^ et de sommer par rapport à i, il vient :
i dXi /, »- i dx- dxk J
^ dx,. d.r,- __ dx^. ^^ (0 si i^k i dx, dxh âxk
1 si i = k
puisque les Xi sont des variables indépendantes. L'on a donc bien :
^ dxj. = 7j — r-^ dx,.
-*■ axi
Les coefficients des transformations linéaires (3) et (4) sont donc liés par les relations :
et, comme on le voit aussi aisément, par les relations : -
qui sont analogues aux relations (15) et (IG) du chapitre L
Au point P{x) on fait donc correspondre l'ensemble des points Q{x-^dx) dont nous dirons qu'ils sont infiniment voisins de F sans qu'on doive attacher pour l'instant à ce mot aucune signification quant à la distance des points P et Q ; les nombres dxi sont les coordonnées relatives de Q par rapport à P dans le premier système de coordonnées considéré. Les coordonnées relatives de Q par rapport à P, se transforment linéairement ; elles forment une série de variables {dx^...dx,i) dont nous dirons qu'elles sont les composantes contravariantes du vecteur PQ ; (nous les disons con- Iravariantes pour que nos dénominations coïncident avec celles que nous avons introduites pour les continua linéaires). L'ensemble des vecteurs PQ, Q étant infiniment voisin de P, est -une multiplicité vectorielle linéaire.
Considérons maintenant une fonction f(x^...Xn) du point P ; si l'on change de coordonnées par les relations (1), elle devient une fonction 7(ar,,...x„) et l'on a :
fix)=f(x).
En Q(x-i-dx), la fonction vaut f-hdf, ou avec les autres coordonnées j -\- df ;
mais puisqu on a
dj=di
on en déduit que les grandeurs /i = ~T~' ^^ ^^^ grandeurs dxi, forment deitx séries de rmriables contmgrédientes.
Les fi sont donc des variables covnricmtes, puisque nous disons que îes dxi sont des variables contravariantes.
L'on a d'ailleurs :
et :
Plus généralement, nous dirons qu'un ensemble de nombres ($^..$") attachés au point P(x), donc fonctions des Xt représente les composantes d'un vecteur contra variant, si, par un changement de coordonnées (1) et (2), ils se transforment en des nombres ($^..1^") suivant les formules :
A- àxh
àx, ,...
et les nombres (î)i...ti„) qui se transforment en les nombres (r\i...-t)n) suivant les fornmles :
k àx,
56 INTRODUCTION AU CAUCUL TENSOKIEL
^ih = ^
àxk
sont dites les composantes d'un vecteur covariant attaché en P. Dans les transformations précédentes, il est bien entendu que les dérivées partielles sont prises avec les valeurs qu'elles ont en P.
En fait et pour résumer, les variables contravariantes se transforment comme les différentielles des coordonnées et les variables covarianies se transforment comme les dérivées par rapport aux coordonnées d'une fonction du point P(,x).
Il est dès lors possible dans un continuum quelconque de développer une algèbre tensorielle, mais il faut bien insister sur ce point essentiel, c'est que cette algèbre est toujours relative à un point bien déterminé du continuum puisque les coefficients af et p'i des équations (1) et (2) dont les relations forment la clef de toutes nos déductions, dépendent des variables xi (ou Xi). De même qu'il est impossible de parler de deux vecteurs identiques* attachés à deux points P (x) et S (y), il est absurde de parler de deux tenseurs identiques du second ordre covariants, relatifs à ces deux points P et S.
Nous n'avions pu achever l'algèbre tensorielle dans une multiplicité linéaire qu'en introduisant une métrique. Pour achever celle dont nous venons d'esquisser les prémisses, il suffit de définir la longueur d'un vecteur de la multiplicité linéaire vectorielle que nous avons formée avec les vecteurs qui joignent un point P aux points infiniment voisins. Nous n'insisterons pas sur les raisons qui ont poussé Riemann à définir la distance ds qui doit être un invariant des deux points P{x) et Q{x + dx) par la relation :
ds' = 2 QikdXidxk (A)
où les Qik sont des fonctions de P, telles que le déterminant 1 gfij. I = gf, soit différent de zéro, sauf peut-être en certains points qui sont précisément dits points singuliers du continuum et que nous excluerons toujours du champ de nos investigations.
*) En effet, dire par exemple que deux vecteurs en P et S sont identiques quand ils ont les mêmes composantes dans im certain système, ne serait pas une définition invariante puisque dans un autre système de coordonnées, ces composantes ne seraient plus les mêmes, précisément à cause de la variabilité des «^ et des fsj" avec le lieu.
En définitive, le carré de la longueur du vecteur PQ [P (x) et ■Q (x-h dx)] dont les composantes sont les différentielles dxi est une. jorme quadratique de ces différentielles ; les coefficients de cette forme sont des fonctions du point P, c'est-à-dire des variables X^...Xn.
Que devient cette définition lorsqu'on change de coordonnées ? Puisque les différentielles dxi sont des fonctions linéaires des dxjc, la forme quadratique (A) des dxi se transforme en une forme quadratique des dxi, appelons gik {x^...Xn) les nouveaux coefficients; puisque l'on a :
^Qikdxidxk = ^Qikdxidxk
on tire, d'après (3) :
2 9ik—r -r- dx^xi = ^Qi^dXidxk.
i,A- dx,. dxi i.k
Ces deux formes quadratiques étant identiques, on a, en identifiant les coefficients de dx,dxt :
^-1 ôxi dx,c — ik dxr dx'i
En chaque point P(x), les Çik se transforment par covariance. En d'autres termes, la métrique du continuum est déterminée en chaque point par un tenseur covariant du second ordre dont les composantes sont des fonctions de ce point.
L'angle 6 de deux vecteurs PQ et PR où
Pix^...Xn), Q{Xj^-hdx^,...Xn-\- dXn)y et R{x^-\-^Xi,...Xn+^Xn)
sont trois points infiniment voisins, est par définition — et par analogie — donné par la relation :
QikdXi^Xk
cos 0 =
\/gikdxidxk.gik^xSxk
A l'exemple de M. Weyl, nous dirons que le vecteur contravariant (l^...l"') attaché en P{x) détermine un segment dont la mesure est donnée par le nombre
m = gikVl''.
~)S INTRODUCTION AU eALCUL TENSORIEL
Si Ton pose Ç» = Ji^gihl^, l'on voit sans difficulté que ces
iionabres h se transformeot p.ir ((Aaiiaiice ; l'on cliru que les 1» sont les composantes cavariantcs du vecteur dont les l'' sont les composantes contravariantes.
L'algèbre tensorielle est ainsi parachevée et il est possible de répéter ici tous les résultats des chapitres I, II, III. Quant à l'analyse tensorielle, nous ne pouvons pas la calquer sans autre sur le chapitre IV puisqiie nous ne savons pas reconnaître l'égalité de deux vecteurs attachés en deux points différents ; or cette connaissance est à la base même, avons-nous vu, des concepts del'analyse tensorielle.
La définition très abstraite du continuum que nous avons donnée plus haut sera rendue plus claire si nous rappelons les résultats essentiels de la théorie des surfaces.
Imaginons dans l'espace linéaire à trois dimensions, un système de coordonnées rectangulaires par rapport auquel tout point del'espace est caractérisé par les trois nonvbres x, y, z. Deux points infiniment voisins (x,y,z) {x-\-dx, y + dy, z-\~dz) déterminent un vecteur dont la longueur ds est donnée par :
ds^ = dx^ + dy--h dzK (5)
Une surface est le lieu des goints (ûé, y, z) qui dépendent de deux paramètres par les relations :
Les fonctions f,g,h étant telles que les trois déterminants fbnc-
D{x,y) D'y, z) Djz.x) , > , . •
tionnels -— » -7- -• -7- r ne soient pas nuls a la fois.
l)[u,v) D{u,v) D{ic.,v) ^
A chaque couple de valeurs u et v comprises dans certains intervalles correspond uij point de l'espace, le lieu de ces points est une surface. Donc une surface est un continuum à deux dimensions.
On sait que le plan
l>(U,VJl J C(./,t))l, •'^ 'A /'(",!')L J
est le lieu des droites qui passent par le point (u,u) et par tout point infiniment voisin (ii-f- c?u, v-\-dv). Dans ce plan, il est possible d'imaginer une multiplicité vectorielle linéaire à deux dimensions, les vecteurs y ont des composantes l^ et l^ qui se transforment comme les du et les dv lorsqu'on change de coordonnées» u et V par des relations quelconques :
Les vecteurs de base du système de coordonnées dans le plan sont des vecteurs portés par les 2 droites qui supportent l'une le vecteur PA, où A est le point (u-{-du,v) et l'autre PB, ovi B est le point (u,v-h dv).
La métrique de la surface est donnée par la forme (5) oii l'on remplace dx, (ly, dz par leurs valeurs :
, de , d.v , dx = — — du H dv, etc. (6)
Ou Oo ^ '
Cette forme devient :
di" = Edu' + ^Fdudv -h Gdv^
m-mn^ï
âx du
dx do
du
do
dz du
dz do
\ dv
'^\ do
dv 1
li l'on
pose H. :
= Xn, on a
'il =
Sfl2 = fi'2, =F,
022 = 0. Le déterminant \gij,\ = EG — F^ est différent de zéro, car, en vertu de Videntité de fragrance, il est égal à la somme des carrés des trois déteiminants fonctionnels auxquels il a été fait allusion plus haut ; puisque ces trois déterminants ne sont pas nuls à la fois, \gij,\ y£ o.
Soient trois j)oints dans l'espace :
P(x,y,z), 0(x-^-dx,y-{-dy,z-hdz), /?(x + Sx, y + 5y , z -(- Sz) ,
l'angle a des deux vecteurs PQ et PR est donné par la relation :
dxox -h dijùu -h dzcz COS a = -. (7)
S/^dx^-'^^OX^
En supposant que les trois points soient sur la surface, Q étant le point (u+ du, v + dv), R le point (ii+ Su, v + Zv), l'angle a des deux vecteurs infininuMil petits PO et PR situés sur la surface, ou si l'on veut encore, l'angle des deux droites qui, dans le plan tangent en P à la surface, passent par P,Q et P,R est donné par l'équation :
Eduùii + F(duùv -+- dvZu) + GdvZv
cos a =
ds.l
comme le montre la formule (7) où l'on remplace les dx par leur
■,.„■. 1 r, àr , àx ^
valeur (6), et les Zx par -r— ou h — -—ou. Ou ào
L'aire du triangle infinitésimal POR tracé sur la surface est,
aux infiniment petits du 4^ ordre près :
do = — f/sSs sin a.
Cette aire s'exprime au moyen des gijc, c'est-à-dire au moyen des E,F,G ; on trouve en effet :
do = — {duZo — dvou) s/EG — F^
Les formules obtenues restent les mêmes quelle que soit la représentation paramétrique utilisée.
Nous n'insisterons pas davantage sur la métrique des surfaces, le cas est bien classique. Néanmoins rappelons rapidement certaines définitions relatives à la géométrie globale — et non plus différentielle — de la surface. Une courbe G tracée sur la surface, est le lieu des points P(u,v) dont les coordonnées sont des fonctions d'un paramètre :
A la valeur t du paramètre correspond un point P de la courbe, à la valeur t -+- dt, si <p et oj) sont continus, correspond le point Q(u.-\-du., v + dv), avec :
du = (^'(t)dt
dv = ^>'(t)dt ;
la longueur ds du vecteur PO est donnée par :
ds- = H(t) dtoù
H(t) = E[^(t), yiit)]^"(t) + 2F(? ,iiO?>' + G(<?,ip)x|)'2.
Soient alors deux points A(to) et B (t^) de la courbe C. Par définition, la longueur de l'arc AB de C est :
= jds = UH{i)dt.
De même qu'une surface de Gauss est définie à l'intérieur d'une multiplicité ponctuelle linéaire à 3 dimensions par des équations paramétriques en u, v, de même on peut définir à l'intérieur d'une multiplicité ponctuelle linéaire Mh à k dimensions un continuum Cn à n dimensions (n ^ fc) par des équations paramétriques. Soient par exemple {y.^...yk) les coordonnées d'un point Mk et supposons que les coefficients de la forme métrique fondamentale soient les nombres (constants) G,.^] la distamce ds de deux points infiniment voisins (y,) et (y, + dyi) est donc donnée par :
rf5 2 =^ G,Jy,dy,
Supposons que les ji soient fonctions de n paramètres {Xy...x.„) ; à chaque groupe de valeurs {x^...Xn) correspond un point Piy-^.-.jk) de la multiplicité Mu- Le lieu de ces points est un continuum à n dimensions Cn-
Soient donc
yi = yt(.x^...Xn) (i = l...k)
les k équations de définition de C„. Les fonctions y» sont telles que
ryfy ■ Y" Y • }
les déterminants fonctionnels — ^l'"'^'",'" ne sont pas tous nuls.
DiX^...Xn)
Le ds' qui donne la métrique de d est :
ds' = ^ gudxidxi
Réciproquement, tout continu Cn dont la métrique est donnée par la forme :
(judxidxi
peut être considéré comme plongé dans ime multiplicité ponctuelle linéaire Mk (/>' ^ n) dont le nombre k des dimensions est à déterminer et dans laquelle par conséquent la métrique est donnée par une forme à coefficients constants :
En effet, pour cela, il faut déterminer /c fonctions yi---yk des variables Xy...x,,., ces l'onclions satisfaisant aux équations aux dérivées partielles :
Ces équations au nombre de — ^ — ^ d(M\ont déterminer k
fonctions ji. Cette détermination est effectivement possible, la démonstration nous entraînerait trop loin. On conçoit dès lors qu'il soit possible de parler d'une multiplicité vectorielle linéaire M» tangente à la multiplicité Cn en un point P{Xy^...Xn), c'est le lieu des droites* qui joignent P aux points infiniment voisins 0{xi -\- dxi) , cette M„ est définie au moyen d'équations linéaires eli les coordonnées courantes Y^...Yk relatives au système employé pour les points de la M]c, ces équations linéaires sont au nombre de k — n.
Une courbe C, tracée dans le continuum Cn, est le lieu des points dont les coordonnées x, sont fonctions d'un paramètre :
•) Nous supposons ici connus les rudiments de la géométrie analytique d'un espace à k dimensions. Dans un tel espace la droite qui joint les points
P(«/}, ...,»/,^) et Q(y\,...,yl)
a pour équations paramétriques :
Yi = ;/,J-+-<(j2-y].)(i = 1, k), c'est un continuum à une dimension.
MULTIPLICITÉ PONCTUELLE QUELOO.NQUE G3
Xi = Xi{t) (i=l,2...n)
La longueur de lare de courbe compris entre deux points A{xi{tf,)] et B[xi{t^)\ est donnée par l'intégrale :
^/H{1)dt
où :
H{t) = 2 9ii[xh{t)]x'i(t)x'i(t).
Equivalence de deux formes quadratiques de différentielles. Etant donnés deux continua C„ et C„ à n dimensions chacun, rapportés le premier à un système (x^...Xn) le deuxième à un système (Xi...x„), telles que leurs métriques soient définies respectivement par les formes :
Qikdxidxk et gikdxidxk,
l'on dit que ces deux continua sont applicables l'un sur l'autre s'il est possible de trouver n fonctions Xi = Xi(Xj^...Xn), telles que la première forme quadratique de différentielles se transforme identiquement en la seconde, lorsqu'on elTectue précisément la transformation définie par ces fonctions. Les deux formes différentielles sont dites, dans ce cas, équivalentes. Pour que les deux formes soient équivalentes, il faut que les
nin-\-l) , . ,, . ,
fonctions x^ix) satisfassent aux équations aux dérivées
partielles :
àx^ dx,
Oxi âxk
Puisqu'il n'y a que n fonctions inconnues, il faut que les Çik
€t les Qrs soient liés par certaines relations, indépendantes des
dx,, dérivées partielles — 3— • dxj
Nous n'allons pas étudier le problème de l'équivalence pour
lui-même, nous allons simplement en amorcer la solution ; ce
début de solution permet en effet de donner une excellente et
rapide démonstration de la covariance ou de la contravariance
bï INTRODUCTION AU CALCUL TENSORIEL
de certaines fonctions qui s'introduisent très naturellement dans le cours ultérieur de nos recherches.
(PXi
Calculons les dérivées secondes — ^^ — —; Christoffel a proposé
dx,.dx^.
une méthode dont voici les détails : dérivons les deux membre» des équations (8) par rapport à xi, en ayant égard au fait que
âf{Xi . . . Xn) Y^ àf âx,. âf dxr
dXi r àXr àxi âXr ÔXi
en supprimant le signe \j. Il vient :
âgif, âg,.s àxf âx^ dxs / d^x,- âx â^x^ dx
dxi dxf âxi ôxi dxk \ dxidxi dxjc dx^dx
dx, )
Calculons de même -tr' ^^ ~r" j ^n changeant convena-
âx,i dxi
blement les indices muets pour pouvoir grouper ensuite convenablement les termes et en remarquant que ,9,.*^' * — â'/s^^'*? quel que soit le tenseur é^, on trouve :
ôxii dXg dxk àxi ôxi \ ùiidxk àxi ôx^ùxi ôxi
f^9ki (^9ts ^^'r ^-^s àxt ( d^'Xg dxj. ^ d^r^, dr^
ôxi dx'' dxi dxit dxi
I d'-Xg dx^ d^x^, dxg \ V dx/edxi à Cl diiâx- àx^ '
Additionnons ces trois équations membre à membre et posons pour abréger :
"^ ^ dxi dxk
Ces fonctions se comportent comme les composantes de tenseurs du 3^ ordre, covariantes pour les trois indices, relativement à toute transformation linéaire des coordonnées, ce ne sont donc pas des tenseurs au sens que nous donnons à ce mot, dans la géométrie riemannienne. Remarquons que :
Nos calculs donnent alors :
^T^ r. r. ^^<, '^^1 à-r,. d^x, dx^
2 Tki,i = 2 Tst,r -if- -n- -r- -+- 2 ^., 1 -~ ' (9) dxi; dfi dxi dxjidxi àx^
divisons par 2 cl multiplions les deux membres par g"* " , puis sommons par rapport à m. Remarquons alors que :
dx,^ âXi
et que
9"''9rs = Sy,
il vient alors :
-mi-p dr^ ^^ d^x^
âx,
âx„, âxkdxi
dx,
Posons maintenant :
rT,„ = r.;- = h/ !
les Fjg* sont covariants en a et p et contravariants eu S pour des transformations linéaires de coordonnées. Comme d'autre part :
dxhdxi dxkdxi
nos équations sont résolues par rapport aux dérivées secondes et
l'on a :
(y\r,, ^.r, 'dxt -= m dxu ...
\st —^7- -77- = lia -3— (lU)
dxkdxi dxk dx, àx„^
et de même
hr-^- m
d^Xu àxs dXf - m âxt
-t- \st"- —z. ZT" = '
dxkdx^ dxk àxi dx„
iVous allons écrire maintenant que ce système d'équations aux dérivées partielles du second ordre est intégrable, il faut exprimer pour cela tout d'abord, que l'égalité :
Calcul tensoriel. 5
66 I^TRODUCTION AU CALCUL TENSORIEL
(Px,, d^Xu
dx/cdxidx^ dx/^dx^dxi
est une identité. Dérivons donc les deux membres de (10) par rapport à xi, ceux de (11) par rapport à xi et soustrayons membre à membre les équations obtenues ; en tenant compte de (12), il vient :
r)r,/" dx,, dxi dcr dïst^' dxg dXf dx^ ^^ d'x^ dr,
dxj, dxk dxi dxi dx^ dx^ dx- dxi dx^dxi dX[
d-Xg dxt
dxi^dxi dxi dJkT dj^^ __dTjJ^ dx^ j m dV„ ^ à^x,,
dXi dxm dxi dxm dx,ndx^ dxmdx
Changeons les indices muets dans la V ligne et remplaçons les dérivées secondes par leurs valeurs (10) et (11). Il vient :
/ Jr,," dTst" \ dx, \ dxf dXr ^ àxh
àxr dx, ^ dxt dxp dr^
■:2. ■ ^ st \ pq
dxi dx^ dxi dxu dxi
-\-\si\pq • ■ ■ -\-\sl \ ki ■ l st l kl
dXi dxh dxi dxm dxi dx,„
dx, dxi
/ dhr dî/cr \ dx„ \ dxi d'^i ^ àlc„,
■=r .^ „ dx,, „ dx,,
-f- F/,/" r,„i' Fa-;"' r,.^' —
dx, dx.
T ,»r . ^"^^ àXf , -p „,^ „ dx,
— fkii^t-^ z — *- 'ki'st —zr
dXm dx, dXm
dxt dx,
Les deux derniers termes de chacun des membres s'entre-détruisent lorsqu'on les fait passer tous dans un même membre. En chan-
dx géant les indices muets et en mettant en facteur les dérivées — —^
àx^ il vient :
L àx, dx, J ^^.^^ ^-^ ^-^.
— I — ::: 1^ f- t a-^ \si — ïkf ïsi I —3- •
L djL, dx, -i dxm
Dans chaque crochet, on trouve des fonctions qui se forment à partir des Çik ou des g,., de la même manière. Posons pour abréger :
l'équation qu'on vient d'obtenir s'écrit alors :
dx. dxr dxi Jx„ ,,.^
R/\rt -^ —ZT —é- = ^^"',11 -^ • (14)
.. . . àxr,
Enfin en posant et en remarquant que
dx.
dx,
âXi
■XV Rs*
,rt =
<j,rt
Qui'
dxu
àx„
àx, dx,
il vient, après multiplication des deux membres de (14) par g,, et sommation par rapport à u et v :
dx,.
dxj
dx, dx^ dx,. dxi -
nsv,rt — 3 H Z~ = tfjh;li. (lOj
dXj dxk dxi dXj
Les fonctions Rsr,rt (et Rjk,ii) sont donc les composantes cova- RiANTES d'un champ de tenseur du 4® ordre, qu'on appelle le tenseur de Riemann. Les fonctions /?.»",,< (et Rk"\ii) sont des composantes du même tenseur, elles sont trois fois covariantes [en s,r,t (ou en k,l,i)] et une fois contravariantes [en u, (ou en v)].
C'est là le seul résultat de la théorie de l'équivalence de deux formes, qui nous sera utile.
Propriétés des symboles de Christoffel et du tenseur de Riemanw
D'après leur définition, les symboles de Christoffel de première
espèce j I (= Tik,i) sont symétriques en i et k. Ce ne sont pas
des tenseurs covariants car les formules de transformation (9) montrent que les fonctions ïik,i se transforment par covariance, seule-
ment si — - — — = o, c'est-à-dire seulement si les formules de dx, dx,
traiisforniation sont linéaires.
I = 9'' j 1/ = rj";;.) est symétrique en i et fc; ces fonctions sont covariantes en i et k et contravariantes en r pour des transformations linéaires de coordonnées. Il y a symboles
de Christoffel de V^ espèce et autant de seconde espèce ; en effet
les nombres de combinaisons avec répétitions de n lettres deux à
deux est , c est le nombre des groupes ik ; or avec chacun
de ces groupes on peut former n groupes i,k,l, ce qui en donne
n^(n-h\) bien en tout
Nous pourrions écrire suivant la convention sur les expressions symétriques par rapport à deux indices, F^ au lieu de f,/; mais puisque ce livre est une introduction au calcul tensoriel, nous n'utiliserons pas cette convention à propos des symboles de Christoffel, dans lesquels nous aurons très souvent à monter ou à descendre le 3® indice.
Nous avons reconnu que les symboles de Riemann sont bien les composantes d'un tenseur du 4* ordre. Voyons les propriétés des composantes 4 fois covariantes : Rsv,rt (qu'on écrit parfois {sv,rt)). Puisque :
lisv, rt = guvJ^s^.rt
on se rend aisément compte par un calcul simple en se référant à l'expression de Rs\rt (qu'on écrit aussi | su,rt jjque :
r, d^sr,v dXst.v - . p ■
tlsv, rt = — T :; 1- i st,i l «)■' — l sr,i l vt
ou aussi
j. d[sr,v C^r.ç^t, r i r r 7 r
On a d'ailleurs :
dïsr,v dTsLv ^ i / (fgrr d'^st d^Q^r â^gtv \
ijxt àxr 'i \âxsdxt dxvàxr dxvàxt dxgdxr j
Tous ces développements montrent que
Rsv,rt = — Rvs,rl^ Iisv,rt = — R*i,lr, Iisv,rt = -+- Brt,vS'
On peut grouper les indices deux par deux, les composantes du tenseur de Riemann sont symétriques gauches par rrpport aux deux indices de chaque groupe, mais elles sont symétriques par rapport à chaque groupe.
On voit encore par un calcul simple que les symboles Rsv,rt jouissent de la propriété cyclique suivante :
Rsv,rt -\- Rsr,tv •+- Rst,vr = O.
Le premier indice restant fixe, on permute circulairement les trois autres, la somme des trois composantes ainsi formée est nulle. En vertu des propriétés de symétrie, on peut dire que cette propriété cyclique est vraie quel que soit le rang de l'indice qui reste fixe dans les permutations.
Le nombre des composantes distinctes et non nulles du tenseur de Riemann est un peu plus difficile à obtenir que le nombre des symboles de Christoffel. Puisque
Rij^^Un = - Rki,l,n
on a :
RiiM = 0.
Il y a donc ' assemblages de deux indices qu'on peut
combiner entre eux pour former des composantes non nulles ; soit
n (n — 1) N le nombre Puisque
Rikjm = Rlm,ik
les groupes que l'on doit prendre dans ces N assemblages sont en nombre égal à celui des combinaisons avec répétition de N objets pris deux à deux, c'est-à-dire :
N{N-h\) 1 rî(n — nrn(n — 1)
Cependant les composantes i^insi obtenues ne sont pas encore distinctes, il existe entre elles les relations cycliques mentionnées cidessus. Parmi ces relations, celles qui proviennent de l'une d'entre elles par la même permutation des indices, ne sont pas distinctes
puisque, par les relations de symétrie, elles se réduisent toutes à l'une d'elles. D'autre part, celles qui sont relatives à des composantes dont deux indices sont identiqaes, se réduisent à l'une des conditions de symétrie gauche. Donc toutes les combinaisons sans répétition des n indices pris quatre à quatre, donneront une relation cyclique ; et il n'y a que celles-là qui soient distinctes ;
le nombre de ces relations est donc de . ^ ., , ^ •
les M composantes que nous avons déterminées sont liées par ces
relations ; il y a donc :
composantes distinctes du lenseur covariant de Riemann.
Contractons le tenseur de Kieniaïui ; pour cela égalons un indice inférieur des composantes Rs'^rt à l'indice supérieur et sommons par rapport à cet indice commun. Si l'on fait s = u, on a, à cause de la symétrie gauche Ifu\st = o. Posons alors ii — r (le cas u = t, s'y ramène immédiatement) et écrivons :
D'après ce que nous avons vu plus haut (p. 41)
lit = Itts.
C'est ce tenseur du second ordre qui joue un rôle essentiel dans la théorie einsteinienne de la gravitation. Formons
(^'''Rst — g'"Ris = R'I
et contractons de nouveau, en posant
R est un invariant absolu ; c'est-à-dire que le champ scalaire défini par la fonction R ne change pas de valeur ni de forme, quand on soumet l'expression analytique qui la représente à une transforaiation quelconque de coordonnées.
Donnons l'expression de Rst ; on a d'après (1-3) :
fl., = iIii:-^[i^^r„/r,v-r..,'T,...
Le lenseur du second ordre Rst est dit le tenseur de courbure.
Remarque sur les Jormes différentielles à coefficients constants.
Pour une telle forme les /?iA:,ZmSont tous nuls. Or, si l'on change •de coordonnées, les coefficients de la forme métrique ne restent pas forcément constants, mais les nouveaux Hikjm qui s'expriment linéairement en fonction des anciens en verlu de leur covariance, sont encore nuls. La théorie de l 'équivalence Je deux formes quadratiques développée plus amplement que nous ne l'avons fait, démontre la réciproque de cette proposition.
Application aux surfaces ordinaires. — Soit une surface de Gauss dont le ds- est :
ds^ = Eda- H- 2Fdadv + Gdu* On a :
gr, = E, g,, = g,,=F, g,, = G; \g,,\ = g = EG -F'
il — — 12 21 ^ 22 ^
Les — — = G symboles de Christoffel de 1"'^ espèce sont : *
L l J ~ ^ àa' L 1 J ~ 2 dv ' l i \~ do -2 du
^ }~ du ~ Y 17' [ 2 J ~ "7 "J7' L 2 J "^ T ~'
Ceux de seconde espèce au nombre de 6, sont : 11 du du do il du du do
i) iL{EG-t-') (2i ->{tG — F^)
ilz do du J2 du do
^2{^EG — t') |2j 2[EG-F-^)
,dF dG dG ^^^dF ^^dG ^dG
'-d^-^^^-^'To (221 -^'17^' 77^^1)7
(i) 2iEG-F-^) |2i- ±{EG~F')
*) Nous suivons ici presque textuellement les calculs de Blanchi : Vorlesungen iiber Differentialgeometrie, Teubner, Leipzig, 2te Aufl. 1910, p. 66.
n2(n2 — 1) Puisque — =1, il n'y a lieu de calculer qu'un seul sym-
bole de Riemann de 1" espèce : /?i2,i2- Calculons-le dans l'hypothèse où F = o
1 d'F 1 d'G i r^/ àb'V ^( ÙG
iiyiA'i. =
-2 ào'- 2 âu^ ■ kEGl \ ôo J \ au
ÔE âG „ dE ÔG
au au ()o âv J
Or, dans le cas où n. = 2, on a :
^„,„ /^iîi i§iiiy. (16)
\ âxi dx.2 d'-i d^i / C'est en effet à quoi se réduisent les équations (15).
Dix ,Xo) Or le déterminant fonctionnel J = — J'' ' est égal, d'après la
théorie élémentaire des substitutions linéaires à l'équation (16) s'écrit donc :
La fonction — — ^ est donc un invariant dans le cas des surfaces ordinaires, on l'appelle la courbure totale de la surface au point considéré. Calculons les invariants pour le cas où E = R^ et G = R^ sin^u ; ces deux fonctions sont les coefficients de la forme métrique de la sphère de rayon /?. quand on prend la colatitude u et la longitude v comme coordonnées. L'expression de Ri2,i2 devient :
/?.,,,- = R^\— cos 2a H r-T- ■ sin^ 2u = R^ sin^ u
L 4 sm^ u J
or g =: R^ sin~u ; par suite :
9 Ji' '
Plus généralement, si /?i et i?2 sont les rayons de courbure. principaux de la surface au point P, la courbure totale de la surface
en P est ■ et l'on a bien :
