LE DÉPLACEMENT PARALLELE D'APRÈS M. LEVI-CIVITA

On doit à M. Levi-Civita la définition et l'application d'une très importante notion pour l'analyse d'un continuum riemannien Cn '• celle du parallélisme de deux vecteurs. Dans un très beau mémoire paru dans les a Rendiconti dcl Circolo matematico di Palermo » (1917), le savant géomètre italien définit ce qu'il faut entendre par les expressions : vecteurs parallèles et déplacement d'un vecteur parallèlement à lui-même. A vrai dire, en analysant dans le détail le mémoire que M. Levi-Civita a publié en collaboration avec M. Ricci, en 1901 dans les (( Mathematische Annalen » (Bd. 54), je crois qu'il ne serait pas difficile d'y dégager déjà la notion de parallélisme. M. Hadamard a remarqué dans les conférences d'analyse de mémoires mathématiques, qu'il préside au Collège de France, que Darboux, grâce à ses travaux sur la courbure géodésique des surfaces et à l'aide de la méthode du trièdre mobile, utilisait déjà cette notion pour les surfaces ordinaires sans d'ailleurs qu'il en eût dégagé toute l'importance. Mais la caractéristique du mémoire de 1917 c'est que l'idée mathématique est dégagée avec beaucoup de netteté et que l'importance du grand nombre des résultats ne le cède en rien à l'élégance des méthodes analytiques employées. M. H. Weyl dans ses leçons sur la théorie de la relativité, a retrouvé les résultats essentiels de M. Levi-Civita par des considérations purement intrinsèques et en particularisant la définition très générale qu'il a donnée de la métrique*.

*) Voir Weyl. T., E., M., cli. II. La connexion affine.

Nous développerons ici la méthode de M. Levi-Civita. A un point P{Xi...Xn), d'un continuum riemannien Cn nous savons qu'on peut rattacher une multiplicité linéaire vectorielle Mn à n dimensions, chaque vecteur étant défini dans Mn par ses composantes contravariantes (^'...^") ou par ses composantes covarian\es li=gikV'; géométriquement cette multiplicité Mn n'est pas autre chose que la multiplicité linéaire tangente à C;i en P ; elle est formée de tous les vecteurs tangents en P à toutes les courbes que l'on peut tracer dans Cn et passant en P. Soit un second point, Q(yj...yn) de Cn ; quand peut-on dire que le vecteur (îi\..ii") attaché en Q est parallèle à un vecteur {^^...l") attaché en P ?

Une définition qui répondrait immédiatement à cette question ne serait pas conforme à l'esprit de la géométrie différentielle ; pour être conséquent avec les méthodes. riemanniennes, il faut procéder de proche en proche et définir tout d'abord — si cela est possible — parmi tous les vecteurs attachés au point Q(Xi -+- dxi) infiniment voisin de P{xi), celui qui peut 'être dit parallèle au vecteur (^*). Comme on le sait depuis l'invention du calcul infinitésimal, tout le reste nous sera donné par surcroît.

Voici alors comment nous allons procéder. Traçons une courbe L dans Cn ; soit P{xi) un point de cette courbe et a un vecteur quelconque fixe de la M„ attachée à P ; dans cette Ma prenons encore un vecteur Xp de composantes (^*) ; déplacer Xp parallèlement à lui-même le long de L de P{x-i) en 0{xi-\-dXi), où il devient le vecteur Xg , c'est précisément trouver parmi les vecteurs de la Mn attachée à O, le vecteur xq tel que l'angle que fait a avec Xp soit le même que l'angle que fait a avec Xq , et tel encore que la mesure du segment détei'miné par ce vecteur x q soit égale à la mesure du segment déterminé par le vecteur Xp. Si l'on continue ainsi de proche en proche, on déterminera en chaque point R de la courbe L un vecteur dont les composantes sont des fonctions du paramètre qui caractérise le point de L considéré. Ce sont ces fonctions qu'il s'agit de déterminer par les conditions différentielles que l'on vient d'énoncer.

Pour plus de commodité, nous utilisons un espace linéaire ^/^ à A' dimensions dans lequel C„ est plongé, et tel que la métrique y soit définie, par rapport à un système cartésien toujours aisé à trouver, par la forme :

ds^ = dz^^ 4- dz.;,^ 4- . . . + d^â ;

LE DÉPLACEMENT PARALLELE D APRES M. I.i;\ 1(1 \ I lA

chaque point Pix^...Xn) de C„ a des coordonnées ^v définies par des fonctions :

2v = Z;(.X^...Xn) (v= 1...A")

telles que l'on ait :

le signe § indiquant, ici et dans ce qui suit, une sommation par rapport aux différents indices des z, c'est-à-dire de 1 à iV ; les g ^^ sont les coefficients de la forme métrique de Cn lorsqu'on emploie les coordonnées xi.

La courbe L est définie par certaines équations paramétriques :

Xi = j'i(s) {i = l...n)

dans Cn, ou par :

Z^ = Z.lx,is) . . .Xn(s) ] = ZXS) (V = 1 . . ..N)

<lans M^

Soit au point /*,o)(s,o)), un vecteur (^(\,). . .%)) ; il s'agit de trouver des fonctions l%s) qui se réduisent à ?(i, pour s = s (o) et qui définissent un vecteur X qui reste parallèle à lui-même et qui conserve sa longueur 1= \/ Qik^^'l^'. Cherchons les cosinus directeurs de X par rapport aux axes cartésiens de M^^.

Les composantes ç' sont proportionnelles aux dilTércntielles des

dx:

coordonnées —r—dt, d'un point P qui se déplace infiniment peu le

long de la courbe de Cn dont X est la tangente ; les cosinus directeurs /.,...Àn sont proportionnels aux différentielles correspondante^^ des 2i...Zx :

mais puisque :

et que

dz.,--

dz., Ox,

dXi

ds

■ds

ïl

ti

tn

dx, ds

ds

d.r, ds

ds

dXn

ds

ds

on a :

2u àx.' 2j àxi ^ ^ dxi ^

mais les X^ étant des cosinus directeurs, on doit avoir et par suite :

c'est-à-dire, d'après (1)

dz^ ' dz

ik V? ' « tk

donc, en prenant le radical positivement :

Soit alors un vecteur fixe f attaché à P, dont les composante» soient (9\..9'0 ; les cosinus directeurs de f sont

s/Oïk^'i''

L'angle A que forme f avec X est donné par l'équation :

cos A = i3Mv.

Or lorsqu'on passe de P(s) en 0 {s -h ds), les fonctions V augmen-

tant de — r— cf. s, le nombre gucl^l'' restant constant. Ecrivons que

pour cette variation, l'angle A reste constant, ce qui revient à dire^ que : d (cos A) = o, ou encore.

dK ^ 1 ( y à% dxk ^. y àz^ d\i )

ds TgJ^^ l^'dxidxk ds "'~^^dxi ds )

LE DÉPLACEMENT PARALLELE d'aPRES M. LEVI-CI\ ITA >'

et, en revenant à la formule (2), après avoir remplacé les ^ en fonction des ? :

Tgî^^ltfl^^^^ c^x, ^ ds 'r^ldx, à.j ds MJ

Cette égalité doit être satisfaite quels que soient les f, c'est-àdire quelle soit la direction f choisie dans Mn en P*). Par conséquent :

d^z. ôz. ,.. ds, , V àz. Oz. . i^l ,. (3^

^> j 2à Ox^âx, dx, ds 4- dXi âXj

ds

Mais puisqu'on peut intervertir les signes ^ ^'' 5 et que J'on a :

^ dXi âXj ^'^

on tire :

L i J dXidxu dxj

Par suite (3) s'écrit :

d\i Y ik 1,. dxu

di' Résolvons ces équations par rapport aux dérivées —r- ; pour cela

il suffit de multiplier par g""^ et de sommer par rapport à j ; il vient immédiatement :

ds ( r ) ds

-dr^^''^ir-^

Ces équations forment un système différentiel linéaire qui définit les n fonctions l\s) ; les coefficients sont en effet, des fonctions de s quand la courbe L est donnée, et le théorème de Cauchy nous apprend que si P^„) est un point régulier pour les coefficients de ce

*) Il est clair que si l'on écrit d (cos A) = o pour toutes les directions de Mn, on retrouvera la définition ordinaire du parallélisme dans un espace euclidien.