LE DEPLACEME.NT PARALLELE D APRES M. LEVI-CIMTA
fO
faisant aux équations (4) ; or en un point, on peut se donner arbitrairement les ^*, par conséquent en ce point, l'on doit avoir :
dx,
df," r ffi 1 , dxr
Ces équations doivent d'ailleurs être satisfaites en tous les points de la courbe L puisque chaque point peut être considéré comme point de départ avec des conditions initiales quelconques. Une transformation simple permet de mettre les équations précédentes sous la forme :
dr/ ( Wv ) , dx,.
-dT-^l i V''-dr = '-
La réciproque est évidente.
Par conséquent : deux vecteurs qui se déplacent parallèlement à eux-mêmes le long d'une même courbe forment toujours le même angle en tous les points de cette courbe. Nous utiliserons bientôt celte remarque.
Lignes géodésiques. — Une ligne géodésique du continuum Cn est une courbe G telle que sa tangente se déplace parallèlement à elle-même lorsqu'elle passe d'un point de la courbe au point voisin.
dxi Considérons le vecteur dont les composantes sont ?* =- -—r- ', ce
vecteur est tangent à la courbe L ; en écrivant qu'il bb déplace parallèlement à lui-même d'un point à un autre, on écrit des équations qui définissent les fonctions Xi(s), c'est-à-dire une courbe qui, d'après la définition, est une géodésique. Ces équations sont évidemment :
C'est-à-dire
] \rl rfr,, d.r,
ds
"^i i ds ds
d'^Xi
rt dxr dxi
ds'
i ds os
d^x, ds^
^ . dr,, dxt ds ds
Ce système différentiel n'est plus forcément linéaire puisque les
sont des fonctions des xi qui i>euvent être quelconques.
Le théorème de Caucliy nous apprend que ces équations admettent
une solution et une seule prenant pour la valeur régulière s = Sq
des valeurs arbitraires xi définissant un point de Cn, et telle encore
dxque les dérivées , ' prennent en s = s^, des valeurs données
d'avance. Cela veut dire qu'une géodésique est déterminée par l'un de ses points et par sa tangente en ce point.
On peut dire dans un langage un peu vague, qu'une géodésique est une ligne qui conserve sa direction ; à cet égard, elle joue dans le Cn le même rôle que celui que la droite joue dans une multiplicité linéaire M„.
Appliquons ces résultats à un exemi3le simple ; soit une sphère de rayon égal à l'unité ; prenons la latitude x^ et la longitude x^ comme coordonnées sur sa surface ; l'élément linéaire est donné par :
d-i^ = dx^^ H- cos^Xj^.dx2^
= sin X, cos X,
Les équations du déplacement parallèle le long d'un parallèle :
Xj^ = const, x^ = —
sont alors
h sm x, cos Xi.k . = 0
ds cos a-j
ds cos xi
— h ^2 sin Xi = 0
d^- ti s'^^^i ^ Q Us cos^ x.
L'intégrale générale de ce système est :
LE DÉPLACEMENT PARALLÈLE d'aPRÈS M. LEVI-CIVITA 81
^' = A cos {fs -h B), $* = sin (y* -H B)
COS Xi
où y = {gXi. Supposons que pour s = o, on doive avoir $^ = a, ;2 = o, alors
a 1^ = a cos ys l^ = sin ys
COSXi
L'angle 6 que le vecteur déplacé fait avec le parallèle est une fonction de s, on a :
Par suite :
= Y = -tgx..
La dérivée -j- est égale à la courbure géodésique de L au point considéré (le résultat est général).
Déplacement parallèle cVun vecteur covariant.
Cherchons les équations qui définissent les composantes covariantes liis) d'un vecteur qu'on déplace parallèlement à lui-même le long de la courbe L que nous avons déjà utilisée plus haut. Pour y arriver, considérons un vecteur auxiliaire donné par ses composantes contra variantes mis), et qui se déplace parallèlement à luimême le long'de L. D'après ce que nous avons vu plus haut, l'angle de ces deux vecteurs ne change pas, en quelque point de la courbe qu'on les considère ; or, puisque les mesures des segments qu'ils déterminent sont inaltérés par définition, il s'ensuit que le produit scalaire de ces deux vecteurs est indépendant de la valeur s du paramètre caractérisant le point de la courbe où on les considère :
c'est-à-dire :
Or d'après les équations qui définissent le déplacement parallèle d'un vecteur contravariant, on a :
Calcul tensoriel. 6
et par suite, les équations (5) deviennent :
,- / d.\- ^. j. dxk
''■ \ ds '*■ ''• ds
Par suite d'un raisonnement qui a déjà été fait plus haut, il faut que :
dkj , p , . dxk
Ys ^^ ■'■ ~dr ~ °
d^. j ^^ j t ^^'^ ds l r ) '" ds
Les U(s) sont encore déterminés par un système de n équations différentielles linéaires.
Déplacement parallèle d'un tenseur. — Reprenons la courbe L tracée dans le continuum Cn- Imaginons que, en chaque point P(s) de L, nous ayons fixé un tenseur dont les composantes Oifc'm sont des fonctions de s (nous prenons un tenseur du 4" ordre pour fixer les idées, mais nos raisonnements s'appliquent à tous les cas). Comment faut-il choisir ces fonctions pour que l'on puisse dire que les composantes ai]/ m définissent le mêms tenseur en chaque point de L?
Considérons pour y arriver 4 vecteurs x, y, z, t attachés en chaque point de L et constamment parallèles à eux-mêmes. Nous définirons tout naturellement les aifc',„(s) par la condition que l'invariant :
A = aïk'^xlSKi'c'"
soit indépendant de s. En d'autres termes, un tenseur d'ordre k portant sur k vecteurs se déplace parallèlement à lui-même, si condéré comme une forme k-linéaire de k vecteurs qui se déplacent parallèlement à eux-mêmes, il conserve une valeur constante. Les au/ m sont donc définies par la condition :
la seule condition de vérifier les équations
LE DÉPLACEMENT l'ARALIKLE d'aPRÈS M. LEVI-CIVITA 83
ds ds
-dr-^'^^''''^='
dK; d^^ ^
-dT-^"^ ^'-^-^
d-i ^ ■ , dxk ds ds
L'équation (6) s'écrit alors :
ip or t( dapq't . „ dxk . „ dxk
Vik cipqh -r Ttk^ a,
IXk \
Cette équation devant avoir lieu quelles que soi.nt les fonctions ^''(s)» 'i'!*). ^r{s), 'ï'(s) assujetties seulement aux conditions (7j, il faut et il suffit que :
dapq''t , r • r r r r ,■ r ■ , n ^X^ j h (— Ipk' Oiq t — tqk' ttpi t -+■ Tik ttpq't — \tk' O'Pq iJ—J- — O.
L'on obtient ainsi un système d'équations différentielles linéaires pour définir les cipqh et le théorème de Cauchy nous apprend que — toutes les singularités étant écartées — les apq''t sont univoquement déterminées par ces équations et par la donnée des valeurs de ces fonctions pour une valeur arbitraire de s.
Dépendance du chemin ; multiplicité euclidienne.
Nous allons modifia très légèrement les équations du déplacement d'un vecteur. Considérons le vecteur aux composantes ?* attaché en P(Xj^,X2,...Xn) ; soient l*-\-dl^ ses composantes en P'(Xk-hdxk) lorsqu'il a été déplacé parallèlement à lui-même le long de l'élément de ligne PP' ; nous avons bien évidemment :
dl'-hTrt'^'dxt = o (8)
Nous pouvons alors regarder ces équations aux différentielles totales comme définissant les composantes Ç'(x^...x„) d'un vecteur attaché en tout point de d et constamment parallèle à lui-même.
Mais pour que cette manière de voir soit légitime, il faut que les équations (8) soient complètement intégrables, sinon alors il est impossible de trouver des fonctions l*iXj^...Xn) bien déterminées et caractérisant un seul vecteur en chaque point de Cn', le parallélisme n'est donc pas univoquement caractérisé en général, et les équations que nous avons données plus haut donnent des solutions qui dépendent effectivement du chemin choisi pour le déplacement du vecteur. Le seul cas où elles n'en dépendent jamais, c'est celui pour lequel les gik de la forme métrique sont tels que les équations (8) sont complètement intégrables. Or ces équations nous donnent :
dxk
= — Tri' f
ÔXi
Les conditions d'intégrabilité
J/i!L\ = J fil\ (9)
dxi \ dXk J dXk \ dxi J
doivent être des identités, quand on tient compte des équations (8). Or :
de même
\ dXk I âxi dxi dx, * "
àx Les relations (9) deviennent alors :
.Tarai àTik^ , r rr • rrr il
?' -^ ^ h Ta/ Tri' — Tlf Trk' — 0
L ^J^A àx, J
ou encore, eu égard aux définitions du chapitre V : Bt\ik \' = 0.
Cette forme linéaire doit être nulle quel que soit le vecteur x($), on a donc identiquement :
Rt\ik = o
LE DÉPLACEMENT PARALLÈLE d'aPRÈS M. LEVI-CIVITA '85
OU encore, ce qui revient au même :
Rik,lm=0.
Ces identités caractérisent donc un continuum ovi la métrique est telle que le déplacement parallèle soit univoque.
Un tel continuum est dit euclidien.
Si donc un continuum est tel que le tenseur de Riemann qui lui est attaché est identiquement nul, ce continuum est euclidien.
