CHAPITRE VII

ANALYSE TENSORIELLE DANS UN CONTINUUM RIEMANNIEN

Ce n'est que maintenant, après avoir fait un assez long exposé préliminaire que nous sommes en mesure d'étudier les champs de tenseurs dans un continuum riemannien Cn.

Un champ tensoriel d'ordre k est donné dans Cn, quand en chaque point P(Xi...Xn) du continuum, on a attaché un tenseur d'ordre k. Les composantes de ce tenseur sont donc des fonctions des coordonnées {x^...Xn) du point P; nous les supposerons continues et dérivables quand nos calculs l'exigeront.

Pour trouver, dans le cas des multiplicités linéaires, le taux de la variation des composantes d'un champ tensoriel en un point, nous utilisions des vecteurs auxiliaires invariables (voir Chap. IV). Dans un continuum C„, la notion de vecteur invariable n'a pas de sens, mais nous avons appris à reconnaître ce que devient un vecteur qui se déplace parallèlement à lui-même d'un point à un point infiniment voisin ; c'est évidemment la notion de vecteur déplacé parallèlement à lui-même qui va remplacer la notion de vecteur invariable, avec laquelle elle se confond d'ailleurs dans le cas particulier où le continuum C„ dégénère en une multiplicité linéaire.

Considérons alors un champ de tenseurs du k'^'"" ordre (du 4* pour fixer les idées) dont les composantes sont les fonctions .Oi^'\n(Xj^, X2, '.- Xn). Au point p, imaginons 4 vecteurs quelconques de composantes : l\ tj^, X,i, t"" et formons en ce point l'invariant :

.1 =«,^-', ï'riitt/T'".

ANALYSE TENSORIELLE DANS UN CONTINUUM RIEMANNIEN 87

Passons maintenant au point P'ixi-\- dxi), en déplaçant les 4 vecteurs auxiliaires parallèlement à eux-mêmes ; en ce point les fonctions cr/'m valent :

a/•^„(a;l...J:J^-ffai''*^„

et les vecteurs auxiliaires y ont respectivement des composantes :

l' H- dl^ avec dl^ — — ïph' iP dxh

y\k ■+■ dy\h avec dr\k = '^kifl ^,g dxh

X,i + d't,i avec dl>i = fin'' C»- dxk

t"" + dx"" avec dx"" = — Vth"* t:' dxh.

De P en P' , l'invariant A a augmenté de dA, et l'on a ;

dA = dapi^, \P r^q ^r -J -4- tti^t Tig i^r x« d « H- ap'^'-t iP Kr x< dr^k

-h apth IP riq z'dKl+ a/'m^PT^î^r^"*.

Par conséquent, puisque

l'on a :

dA = I — Xph'ai'iU 4- ïkiflap'^u

H- F/A'- a^//' < — {ur ap ?-•«, I \i'r^qX,rxt dxh .

Or dA étant la différence de deux invariants en P, est un invariant •en P ; par conséquent puisque \p, r,q, ^,., x', dx^ sont les composantes de 5 vecteurs en P, les fonctions :

àanVt ^ . ^ ^

a^?'"i//i = —j- Tph' afl^t -h ïkifl a/-t + F/a'" ap-'^f — F//t"' a^.^'-w

représentent les composantes d'un champ de tenseurs d'ordre k+l [ici (4 + 1)].

Ce tenseur est appelé la dérivée covariante du champ donné, au point P.

Plus généralement, la dérivée covariante d'un champ tensoriel

(p + 1) + g (p + 1 fois covariant ef q fois contravariant) :

d'ordre p + q : « i.'.iJ/.V.-J est un nouveau tenseur d'ordre

88 INTRODtfCTION AU CALCUL TENSORTEL

^ uX'.'.'.'ip/h *ï"^ s^ calcule grâce à la méthode précédente, par la formule :

Nous indiquerons les indices des dérivations covarianles au. moyen d'un trait qui les séparent des indices du tenseur donné.

Appliquons ces considérations générales au cas d'un champ vectoriel. Soit d'abord un champ vectoriel covariant ^i(Xi...Xn); formons avec le vecteur dont les composantes en P(xi) sont t]*, l'invariant li-rf et calculons sa variation lorsqu'on passe de PÇxi) à- P'(xi-h dxi), le vecteur r\^ se déplaçant parallèlement à lui-même, on a :

d(Ur)')=lidr]' + r)'dl

or

cfn» = — Trh'Vd

et

dl = f - âx, àxh

Il vient donc

d(^i^'^ = ï4^-^rHn

La dérivée covariante du champ U est donc définie par les composantes :

Ki/h = -; 1 i// Zt .

On verrait encore de même que la dérivée covariante du champ vectoriel contravariant \^{x^...Xn) est définie par les formules :

oxu Reprenons les équations qui définissent le déplacement parallèle d'un tenseur of'f^"*'; elles s'écrivent :

Js ^^ %.2..... dS

VI r l „k,ki...ko dXh „

ANALYSE TENSORIELLE DANS UN CONTfNUUM RIEMANNIEN 89

On peut les transformer aisément en :

ds /T àxh ds

Cela montre que la définition du déplacement parallèle est une définition invariante. On voit encore par là que si la dérivée covariante d'un champ tensoriel est nulle au point P, ce champ dans le voisinage de P s'obtient tout simplement, en déplaçant parallèlement à lui-même le tenseur attaché en P. Un tel champ est dit stationnaire en P.

Le champ tensoriel qu'on obtient le long d'une courbe L en déplaçant parallèlement à lui-même un tenseur attaché en un point de cette courbe est un champ stationnaire en tout point de L. On conçoit que par suite de la dépendance que manifeste le déplacement parallèle envers le chemin de transport, un champ tensoriel ne peut être en général stationnaire en tous les points de Cn- Pourtant un théorème dit théorème de Ricci, nous apprend que le tenseur métrique gi^ est précisément stationnaire en tous les points de Cn.- En effet :

gikfh = — T i.a' g kl — \k//gii = — ^ iih,k — \kh,i = o.

OXk OXh

De même g^^/h = o.

Nous allons poursuivre cette étude en donnant une signification plus intuitive encore de la dérivée covariante. Pour ne pas compliquer les notations, nous nous bornerons au cas d'un champ vectoriel covariant.

Soit donc un champ vectoriel ^i(rr,...r„) ; transportons de P(xi) en P' (xi + dxi) le vecteur U, parallèlement à lui-même, le long de

PP'. Il devient en P' :

?t — PrA' S»" dXh.

Mais en P' , le champ a pour valeur :