VECTEURS. TRANSFORMATIONS LINÉAIRES

équations (5) ; les coefficients des seconds Tnembres y étant les mêmes que ceux de la transformation (2) inverse de (1), à cela près que les lignes sont changées en colonnes et vice-versa.

Les composantes X, et À, du vecteur a sont dites plus précisément ses composantes contravariantes, ûh dit aussi que dans une transformation de coordonnées, elles se comportent d'une manière contravariante à la manière dont se comportent les vecteurs de base. Nous verrons plus loin une autre interprétation des équations (5).

Généralisons rapidement ces considérations au cas de l'espace.

Soient dans l'espace trois vecteurs Uj, u,, Ug tels qu'aucun d'eux ne soit une combinaison linéaire des deux autres, c'est-à-dire tels qu'il ne puisse y avoir aucune relation de la forme

ajUj + a^Ua + ol^U^ = O

avec des ai non tous nuls. En d'autres termes encore, ces trois vecteurs ramenés à une même origine 0, par translation, ne sont pas coplanaires. Soit alors OABC le trièdre qu'ils forment (fig. 4) ;

je dis que tout vecteur a (qu'on peut ramener en OD) est une

Vif A

Fig. 4

combinaison linéaire de Ui, Uj, U3. En effet, menons par l'extrémité D du vecteur a, le plan parallèle au plan BOC, et soit A^ la trace de la droite indéfinie OA sur ce plan. Menons enfin dans ce

12 IMliOm CTION AU CALCUL TENSORIEL

plan la droite lijj parallèle à OC, et considérons la ligne brisée OA,B,D, on a :

->- ->- — >- — >- OD = OA,+A,B, +B,D mais :

OA, = l,OA = l,u,

A,B, = KGB = A^u^

B,D =l,OC = l,u,

les li étant des nombres réels. Par suite :

a = XjUi + X2U2 + /3U3.

Les nombres Xj, Xj, X3 sont les composantes du vecteur a dans le système (u,,, U., U3) ; ces nombres sont uniques et bien déterminés, car si, par exemple, l'on avait encore :

a = X\Ui + X'2U2+ x'sUg on en déduirait :

(Xj — X'JUi + (X2 — l\)u^ 4-(X3 — X'3)U3 = o et par. suite

Xi=X'i (1 = 1, 2, 3)

Prenons maintenant un autre système de coordonnées ; soient u'i, u'2, u'3, trois vecteurs non coplanaires, et désignons par ai^, cLi2, ai3 les composantes de u'i dans l'ancien système :

U'i = aiiUj H- ai2U2 -+- ociaUg, (t = 1, 2, 3) (7)

et par p^i, ^^2. hs celles de u*: dans le nouveau

Uk = hiU\ + h2^'2 + h3U',. a-=l, 2, 3) (8)

Puisque les équations (8) doivent être une conséquence des équations (7), les P et les a doivent être liés par certaines équations que l'on obtient bien aisément en portant les premiers membres de (7) dans les équations (8) et réciproquement. L'on trouve :

y^ a.V ^rk = hk (9)

2 ^.v -rk = 2., m

VECTEURS. TRANSFORMATIONS LINEAIRES 13

Les équations (10) sont d'ailleurs une conséquence des équations (9). La transformation définie par (8) est dite la transformation inverse de la transformation (7).

Désignons par l'i les composantes de a dans le nouveau système ; puisque :

XiUi + X2U2 + X3U3 = X'iU'i H- X'jU'a H- X'aU's

et que cette égalité doit être une identité en les u'i quand on y remplace les u^ par leurs valeurs (8), ou une identité en les u^quand on y remplace les u'i par leurs valeurs (7), il s'ensuit que :

X'fc = p,ai + p2it>^2 + P3/cÀ3 {k = l, 2, 3) (11)

^j= ^ij'^'i-h^ij^'z + ^-zj^'s (7 = 1,2,3); (12)

on dit de nouveau que les variables h et les variables Ui sont contiagrédientes, ou mieux qu'elles forment deux séries contragrédientes de variables. On retrouve de nouveau l'analogie entre la transformation (11) et la transformation (8) inverse de (7).

Nous allons généraliser ces notions et bien que la représentation géométrique nous fasse dorénavant défaut pour soutenir l'intuition, nous continuerons d'employer le langage géométrique.

Donnons-nous un ensemble infini d'objets que nous nommerons vecteurs ; définissons Vaddition de deux ou plusieurs de ces vecteurs, comme une opération satisfaisant aux lois (A) et la multiplication d'un vecteur par un nombre réel quelconque, comme une opération qui obéit aux lois (M), et convenons que ces opérations appliquées sur des vecteurs de l'ensemble donné redonnent des vecteurs de cet ensemble. Nous dirons encore que k vecteurs Ej, aj, ... a* sont linéairement indépendants s'il est impossible de trouver k nombres, non tous nuls, tels que :

X^ai '+ l.,a., + ... + Ik^k = o.

Nous parachevons la définition de notre ensemble de vecteurs en supposant qu'il est possible d'y trouver n vecteurs linéairement indépendants, mais que (n-hl) d'entre eux, pris arbitrairement soutiennent toujours une ou plusieurs relations linéaires ou homogènes. L'ensemble ainsi constitué est dit une multiplicité vectorielle linéaire à n dimensions.

Ces définitions ne sont pas contradictoires, un examen rapide le montre aisément et les considérations qui suivent nous en persua-

14 INTRODUCTION AU GAIXUL TENSORIEL

dent d'ailleurs. Puisqu'il est possible de trouver n vecteurs linéairement indépendants, soit (Uj, u„, ... u„) un tel groupe. Si a est un vecteur quelconque de la multiplicité, d'après nos définitions, il faut qu'il s'exprime linéairement en fonction des u» :

a = X^Ui 4- X2U2 + ... + À«u„

et cela d'une manière univoque, car si l'on avait encore :

a = À\Ui + X'aU, + ... H- X'„Un

on. en déduirait :

Les Xi sont encore dits les composantes du vecteur a dans le système de coordonnées dont les Ui sont les vecteurs de base. Soit b un autre vecteur :

b = [XjUi 4- [XjUo + ... + ;j.„u„, le vecteur :

C = (Xi-f-[ii)Ui-t- ...+ (Àn-h[J-«)U,j

est égal d'après les propriétés de l'addition, au vecteur a-f-b. Donc dans un système de coordonnées quelconque, les composantes du vecteur somme de plusieurs autres vecteurs sont égales respectivement aux sommes des composantes de même indice des vecteurs donnés.

On voit aussi que le vecteur

d = (oXJUi H- (pX2)Ua + ... -+T i?K)Uu

où p est un nombre réel, est égal d'après les règles de la nmlliplication au vecteur pa. Le vecteur o est le vecteur dont toutes les composantes sont milles; comme on s'en rendra compte, cette définition est indépendante du système de coordonnées. Si l'on change de système de coordoitnéfis, c'est-à-dire si l'on prend d'autres vecteurs de base u'^, u'2, ...., u'„, le vecteur a aura dans ce système de nouvelles composantes l\, ... X'»; cherchons-les:. Les vectÊurs u.'i s'expriment dans Fancien système par

U'i = ctijUi H- cxi^U, + ...-+- ai„U„ (13)

les dijc étant leurs composantes. Puisque les u'» doivent être linéairement indépendants, le déterminant \(x.a\ y^ o ; si les ^ik sont les coefficients de la transformation inverse de la transformation (13),

VHCTELBS. TRANSF.ORMATJOiNS LINÉ.VIRES 15

OU si l'on veut les composantes des Ui dans le système de coordonnées (u'fc), les formules qui expriment les À',- en fonction des Àt sont les suivantes :

X'i = p^iX, H- M^ H- ••• + Mn on les obtient en écrivant que :

^l«l + ^2ÏÏ2 + ^nUr. = >^'iU'i 4- X'oU',... + X'„u'n

est une identité en les u'i quand on y remplace les Uk par leur valeur :

Uk = PfciU'i + pfc,U'2 + .... + ^knU'n (U)

Puisque les formules (14) résolvent les équations (13) et viceversa, on en déduit que :