jt=Si

Modifions légèrement nos notations, la raison en sera claire plus tard. Désignons par x'i les grandeurs a,i et par pf les ^a ; puis au Heu de lettres accentuées pour désigner des grandeurs relatives au deuxième système de coordonnées, utilisons des lettres surlignées.

Les équations (13) et (14) s'écrivent :

ûi = IJafu* (13')

Soient maintenant deux séries de. n variables (|^, ^3, ... ^„) et (il\ 11*. ••• ■>!") ;. supposons que les li se transforment en de nouvelles variables I* suivant les mêmes formules qui permettent la transformation des Ui, en les ûfc. On dira que les deux séries (U) et (Ui) sont cogrédientes, ou encore que les ($i) sont des variables qui se transforment d'une manière cxmariante aux vecteurs de base, ou plus simplement que ce sont des variables covariardes.

Supposons maintenant que les 11* se transforment en de nouvelles variables tj*' suivant les formules :

= 2t^^/ (iv;

et que l'on ait, toutes transformations faites, une identité de la forme :

On dit alors que les deux séries de variables (li) et (t]*) sont deux séries contragrédientes; on dit encore que les (11') sont des variables qui se transforment d'une manière contravariante aux vecteurs de base, ou encore que ce sont des variables contravariantes.

Remplaçons dans (17) les ti* par leurs valeurs, et identifions les coefficients des r]^, il vient :

mais puisque les ? se transforment comme les u, on a :

par suite :

Si l'on a égard au fait que dans les formules (14"), l'indice muet * est l'indice inférieur des [j. tandis que dans les formules (14') l'indice muet est l'indice supérieur des p, on voit que les coefficients de la transformation des variables ti (contravariantes aux u), en les variables ti, sont les mêmes que ceux de la transformation (14') inverse de (13'), à cela près que les lignes sont changées en colonnes et vice-versa dans le tableau où on les groupe. On verrait de même que la transformation inverse de (14") est la suivante :

*) Nous appellerons indice muet suivant vine locution expressive due à M. Eddington, l'indice suivant lequel on effectue <ies sommations, dans une expression analytique donnée.

\ECTEURS. TRANSFORMATIONS LINÉAIRES 17

V = |;ai;/^ (13"J

Reprenons le vecteur

a = X,Ui H- X.Ua H- ... H- A„Un ; dans le second système de coordonnées, il s'écrit : a = Ijû^ H- X2Û2 4- ... H- ^nû„.

Donc, l'expression ^ hUi se transforme en ^ >.iUi quand

-on effectue la transformation de coordonnées (13'); c'est donc dire que les (Xi) et les (u,) sont deux séries de variables contragrédientes, c'est dire encore que les Xj sont des variables contravariantes. Dorénavant, nous désignerons les variables contravariantes par des lettres affectées d'indices placés supérieurement (comme des exposants, la confusion n'est d'ailleurs pas à craindre) et les variables covariantes par des lettres affectées d'indices inférieurs. Nous avons vu que les composantes d'un vecteur, telles que nous les avons définies sont des variables contravariantes. Nous allons voir un exemple de variables covariantes.

Supposons que nous fassions correspondre à tout vecteur a de la multiplicité n- dimensionnelle que nous avons définie plus haut, un nombre réel L (a) ; ce nombre est donc une fonction du vecteur a ; nous supposons qu'elle soit telle que sa valeur pour le vecteur a-l-b soit égale à la somme des valeurs qu'elle prend pour les vecteurs a et b pris séparément :

L(a4-b) = L(a)-hL(b);

cela entraîne pour X rationnel :

L(Xa) = XL(a)

et nous supposons que cette équation fonctionnelle est vraie quel que soit le nombre réel X. La fonction L (a) est dite une forme linéaire du vecteur a.

Si donc on utilise un système de coordonnées (u^, .... u„), dans lequel le vecteur a s'écrit :

a = Ti^Ui -+- T1-U2 H- ... -4- Tfu„, on voit tout de suite que l'on peut écrire L (a) sous la formo : Calcul lensoriel. 2

L(a) = Ti^L(uJ 4- r]^Uu,) H- ... -h ti"L(ii„).

Posons alors : L(Uj) = ai, les ai sont dits les coefficients de la forme linéaire ; ce sont des variables covariantes, comme nous Talions voir. En effet, si l'on utilise un deuxième système de coordonnées (Ui, ... Un) dans lequel on ait :

la forme L(a) s'y écrira :

L(a) = a^Ti^ + a^îi^ + . . . H- a^Ti'^, si l'on pose L (Ui) = a^ ; on a donc :

mais puisque les tj* sont des variables contravariantes, on en déduit que les a» sont des variables covariantes. Les coefficients d'une forme linéaire d'un vecteur sont des variables covariantes, quand on exprime cette forme au moyen des composantes contravariantes de ce vecteur.

Remarques.

I. Les formules (13") qui donnent les composantes V d'un vecteur a dans un nouveau système de coordonnées, en fonction des anciennes composantes ti* de ce même vecteur peuvent être interprétées d'une autre manière. Au lieu d'imaginer qu'on a deux systèmes de coordonnées et un seul vecteur, imaginons que l'on n'ait qu'un seul système (l'ancien) et deux vecteurs a et a dont les composantes sont respectivement les t]* et les ti* ; alors les formules (13") et leurs inverses définissent précisément une correspondance entre le vecteur a (if ) et le vecteur a(îi*), ou si l'on veut, une transformation du vecteur a en le vecteur a. Les formules (13"), ou la signification de la transformation, montrent que cette correspondance jouit des deux propriétés suivantes : si elle fait correspondre â à a, et b à b :

1°) elle fait correspondre a + b à a + b; 2°) elle fait correspondre Xâ à la (X réel).