VECTEURS. TRANSFORMATIONS LINÉAIRES

Une transformation qui jouit de ces deux propriétés est dite une transïormalion linéaire, ou affuie ; on l'appelle aussi affinité. Les coefficients des formes linéaires des seconds membres des formules de la transformation déterminent une matrice.

Puisque le produit de deux affinités est une affinité et que l'inverse d'une affinité est encore une affinité, les transformations linéaires forment un groupe. Donc, les transformations de coordonnées forment un groupe.

II. Nous allons introduire pour terminer ce chapitre, une notion qui nous sera très utile dans la suite : la notion de multiplicité ponctuelle linéaire à n dimensions.

Considérons le groupe formé par n nombres réels quelconques (Xy, X2, ... Xn) ; pour plus de simplicité, nous dirons que ce groupe est un point P; les Xi sont dits les coordonnées du point P.

Deux points sont différents quand les groupes de n nombres qui les définissent ne sont pas identiques. L'ensemble des points obtenus en faisant varier indépendamment les uns des autres, les nombres X, entre certaines limites (qui peuvent d'ailleurs être — oo et + oc) forme un continuum à n dimensions. Pour notre objet, nous admettrons que les Xi peuvent varier entre — cx) et -h c%d. Le point 0 (o, o, ... o), dont toutes les coordonnées sont nulles est dit l'origine. Nous aurons à porter notre attention tout à l'heure sur les points A^ (u^, 0...0), An (o, u^, ... o) ... An (o, o, ... u„). les coordonnées de Ai sont nulles, sauf la i'^""^ qui est égale à Uj.

Deux points P et Ç déterminent dans leur ensemble et par l'ordre dans lequel on les énonce, un objet que nous appellerons un vecteur, et que nous désignerons soit par la notation PQ, soit par une lettre minuscule grasse a. Nous astreindrons par la suite ces vecteurs aux définitions et aux règles de calcul que nous avons établies

dans le présent chapitre. Considérons les n vecteurs 0.4^ ^ u^, ...

OAn = Un; nous les appellerons -vecteurs de base du système de

coordonnées (xi).

Soient P(xi) et Q(yi) deux points ; formons les différences :

yi — Xi = vi et posons ^' = — ; les ^^ sont dits les composantes du vecteur PQ

dans le système de coordonnées vectoriel dont les Ui sont les vec-

teurs de hase. Cette détermination sera justifiée tout à l'heure. Soit encore le point R fe) ; le vecteur PR est dit la somme des vecteurs PQ et OR ; calculons les quantités suivantes correspondant respectivement à ces 3 vecteurs :

pour PQ : V = — =

pour QR : V = — =

pour PR : r]^ = — =

l'i Ui

on a :

Ce qui veut dire que les composantes du vecteur somme sont égales à la som,m,e des com,posantes de même rang des vecteurs dont on fait la somme. Deux vecteurs dont les composantes de même rang sont égales sont égaux ; grâce à cette définition, il de-

vient donc possihle de définir la somme de deux vecteurs AB, CD

quelconques ; pour cela, on fait la somme des deux vecteurs AB et

BE, soit AE ; c'est le résultat cherché ; E est le point dont les coordonnées sont égales aux coordonnées de même rang du point A

augmentées des composantes de même rang du vecteur CD. On dit

qu'on a amené le vecteur CD en BE ; on eût pu tout aussi hien

amener AB en DF ; F étant un point qu'on obtient bien aisément et l'on voit que