AE = CF

Par définition le vecteur Xa est le vecteur dont les composantes sont égales aux composantes de a multipliées par X.

Puisque les coordonnées (xî) d'un point quelconque P peuvent s'écrire :

Xt = o-ho-4- ... + l'U4-{- ... + o

les l"- étant les composantes du vecteur OP, on voit facilement que

le vecteur OP est la somme des n vecteurs ^^0.4^, l^.OA^, ... ^''.0.1„; on peut donc écrire :

VECTEURS. TRANSFORMATIONS LINEAIRES 21

OP = Vu, + Vu, H- .... + ^'^Un.

Les vecteurs que nous venons de définir satisfont bien à toutes les définitions données plus haut.

Nous avons donc introduit dans le continuum ponctuel que nous venons de définir une multiplicité vectorielle linéaire ; elle est à n dimensions comme le montrent la formule précédente et le fait que parmi les Mi, il n'en est aucun qui soit une combinaison linéaire des autres.

On dit que le continuum est décrit avec d'autres coordonnées si l'on convient que le point (x,, x^, .... Xn) est le même que le point (x,, ^2, .... Xn), les Xi étant des fonctions des xi :

Xi = fi (Xj, ... Xn).

Nous aurions alors une autre origine 0 (o, o, ... o) (le point 0 est le point dont les anciennes coordonnées annulent les m' fonctions fi);

nous définirions n nouveaux vecteurs de base OB^, OB^, ... OB» les points Bi ayant les nouvelles coordonnées : B^ (u^, 0...0), B2(o,u^,o...o) ; ...Bn(o,o...Un). Les règles que nous avons posées pour le calcul des vecteurs dans le continuum ne sont plus valables ici, lorsque les fonctions fi sont quelconques ; en particulier la règle n'est plus valable qui dit que les sommes 2 à 2 des composantes de deux vecteurs sont les composantes de la somme du vecteur. Nos définitions ne restent valables que si les fonctions fi sont linéaires, c'est-à-dire si

Xi = 2 <Xij.Xk -f- ai.

Les cLik étant des constantes, telles que f a^j; [ ^é o, et les a» étant aussi des constantes.

El-ant donné un continuum' ponctuel n-dimensionnel, il est donc possible d'y attacher une fois pour toutes une multiplicité vectorielle linéaire à autant de dimensions, pourvu que les coordonnées qui pennettent la discrimination des points du continuum ne soient soumises qu'à des transformations linéaires. Une fois que ce rattachement est fait et pour autant qu'il reste valable, le continuum est dit constituer une multiplicité ponctuelle linéaire n-dimensionnelle. La géométrie d'une multiplicité linéaire (ponctuelle ou vectorielle) est dite géométrie affine ou géométrie linéaire.