ALGÈBRE TENS0R1ELLE
Reprenons la multiplicité Yectorielle linéaire à n dimensions que nous avons définie dans le chapitre précédent. Nous avons reconnu l'existence de deux espèces de séries de n variables : si, par une transformation de coordonnées, les vecteurs de base (u^, ...Un) se changent en les nouveaux vecteurs de base (Ui,...u„) suivant les formules :
qui résolues donnent :
les séries de la l""* espèce, celles qui sont covariantes {l-^,...ln) transforment, suivant les mêmes formules que les u :
les séries de la seconde espèce (ti\...ti''), celles qui sont contravariantes, se transforment suivant les formules :
PREMIÈRE DÉFINITION DES TENSEURS. ALGÈBRE TENSORIELLE 23
La nature de ces séries de variables est caractérisée typographiquement par la position de l'indice de chaque variable.
Nous allons alors partir d'un nombre quelconque de ces séries €t en former des fonctions dont la nature pour l'instant pourra nous paraître essentiellement formelle ; c'est ])lus tard (chap. lïl) que nous en verrons l'origine véritable. Néanmoins puisque les notions développées jusqu'ici nous permettent d'élaborer déjà la notion de tenseur, il est naturel que nous tirions de ces notions-là tout ce qu'elles peuvent donner.
Choisissons un système de coordonnées (Ui,...u„) et soient fe séries de variables, q covariantes et p contravariant€s : {l^ , . . .l"") , (^^...if), (t;i...tn), (t^..t'^) (pour fixer les. idées, prenons p = 3,
g=l;fc = 4).
Avec ces séries, construisons une forme qui soit linéaire par rapport à chacune d'elles ; elle est donc de degré k eh l'ensemble des séries. Le terme général de cette fonction F est donc un monôme qui contient une fois et une seule une variable de chaque série, soit : IWlrn'^" ; désignons par an'",- le coefficient de ce monôme. La fonction F s'écrit donc :
la sommation étant étendue à tous les arrangements avec répétitions des n indices 1, 2, ... n pris k à A:.
Posons encore que la valeur de F est indépendante du système de coordonnées choisi. F est dit alors un' tenseur du fc'^""^ ordre (4* ordre), p fois covariant (3 fois covariant) et q fois oontravariant (1 fois contra variant) ; les coefficients aa"V sont dits les composantes du tenseur F dans le système de coordonnées considéré.
Changeons maintenant de système de coordonnées ; et soienl {Ui,...u„) les nouveaux vecteurs de base liés aux anciens par les formules (1) et (2). Que devient alors la forme de F ? F s'exprimera dans le nouveau système au moyen dos variables sur-
lignées liées aux anciennes par des formules du type I ou du type II suivant leur nature ; puisque ces formules sont linéaires, il s'ensuit que F est encore une fonction linéaire en chacune des k séries de n variables surlignées:
en désignant par ast r le coefficient du produit T^, <>u~ •
Un tenseur conserve donc la même forme quel que soit le système de coordonnées auquel il est rapporté. Ses composantes ont évidemment changé ; quelles relations y a-t-il entre les nouvelles et les anciennes ? Puisqu'on a :
2 fl.A.lVC„V'= 2 «'^'"-''V?.n-'- (-1)
et que cette égalité doit avoir lieu quels que soient les nombres ^, T), î;, T, et r, T], 1;, r liés par des relations (I) ou (II) suivant leur nature, il s'ensuit qu'elle est une identité par rapport à certaines d'entre elles (les nouvelles, par exemple) quand on a remplacé les autres (les anciennes) par leurs expressions en fonctions de celles-là (des n(tuvelles). Faisons ce remplacement, il vient :
2 ".M%-'c.7'= 2 «■-'"'(2'î=')(ii'!^')(S'^"'^")(i:<^")
■■'^ cc!,ip;,<air,I%
Identifions alors les coefficients de 1 t) Çmx dans les deux membres : il n'y a pas de dificulté, mais le lecteur peu familiarisé avec le maniement de nombreux indices, maniement qui caractérise en quelque manière le nouveau calcul, doit prêter une attention soutenue à ces premières opérations. Le coefficient dans le second membre s'obtient de la manière suivante : on porte son attention sur les termes en T^q Ku"^", c'est dire qu'on suspend la sommation par rapport aux indices s, t, u, v ; on a donc :
ast'v= 2 »J'^/m<'<='iA-. (2)
i, l, m, r *) Car il est clair qu'on peut intervertir les signes S.
PREMIÈRE DÉFINITION DES TENSEURS. ALGÈBRE TENSORIELLE 25
Si l'on avait exprimé que l'égalité (1) est une identité en les variables ^, îi, t, T, on eut obtenu :
Les composantes du tenseur F se transforment donc suivant des formules linéaires ; elles se transforment d'ailleurs, comme il est aisé de le voir, de la même manière que les produits de variables d'espèces convenables : les au"r se transforment comme un produit de la forme Aiaiv'"p,. (par conséquent a,i"r se transforme comme le produit : A^jji/v p,,i-
• C'est cette remarque qui justifie les dénominations suivantes : On dit que le tenseur F est covariant suivant les indices i, l, r et qu'il est contra variant suivant l'indice m. C'est pourquoi nous avons représenté les composantes du tenseur au moyen d'une lettre affectée d'indices placés d'une manière qui, à première vue, paraît incompréhensible, mais dont on voit bien maintenant la raison. Pour l'instant, rien ne nous oblige d'ailleurs à écrire aii"'r^ on aurait pu aussi bien écrire a'-l^. Mais plus tard, des distinctions assez délicates nous contraindront à uliliscr !a juciiiière notation plutôt que la seconde.
Par conséquent, ce qui caractérise un tenseur, c'est tout d'abord son ordre (k) puis sa nature qu'on représente par la position des indices de ses composantes (p fois covariant, et q fois contra variant).
On voit d'autre part que ce qui importe dans la définition du tenseur F, ce ne sont pas tant les séries particulières ; ^% i]^, ^^, x»", au moyen desquelles il s'exprime, que la nature même de ces séries, et par suite la nature des composantes 01"^- Une fois que l'ordre et la nature du tenseur sont définis et que ses composantes sont données, celles-ci fonctionnent dans leur ensemble comme un opérateur, créant des formes multilinéaires, et qui appliqué à certaines séries de variables dont l'espèce est bien déterminée, mais dont le choix est arbitraire, donne des nombres indépendants du système dfe coordonnées choisi. Par exemple, les aii"r, appliquées dans leur ensemble aux variables l\ r\\ Ç,„, t , donnent un nombre F indépendant du système de coordonnées, c'est pourquoi on dit que F est un invariant ; de même si on les applique à 4 séries de variables X*, H^'; Vi P'. on obtient un tenseur
26 LNTRODUCTIOxN AU CALCUL TENSORIEL
qui est un nombre dépendant de ces séries, bien entendu, mais indépendant du système de coordonnées choisi, c'est-à-dire que l'on a encore :
G — \^ a,7"'r>^V ^mp'"
Ces remarques évidentes auront leur importance dans la suite.
Les opérations fondamentales de l'algèbre tensorielle sont : l'addition, la multiplication et la contraction.
Addition. — La somme de h tenseurs du même ordre§et de même nature, portant sur les mêmes séries de variables est un tenseur de même ordre et de même nature. Les composantes du tenseur somme sont égales respectivement à la somme des composantes de mêmes indices des tenseurs donnés.
Ce théorème est évident ; prenons un exemple où /î = 2. Soient:
ilmr
iln.r
deux tenseurs de même ordre et de même nature ; le tenseur :
ilmr OÙ
est égal à la somme des deux tenseurs donnés :
Cette règle n'est pas autre chose que la règle qui donne la somme de deux polynômes par réduction des termes semblables.
Multiplication. — Soient deux tenseurs
G = J^bnh,,,
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portant sur des séries différççtes de variables. Le produit de ces deux formes, effectué comme on effectue ordinairement le produit de deux polynômes, c'est-à-dire en multipliant tous les termes de l'une des formes par chacun des termes de l'autre et en additionnant les résultats, est un nouveau tenseur //.
H=FG= ^a.u^h," . ^hnh^
ik Im
OU
en posant :
Cikf = (likbr
Par conséquent, le produit d'un tenseur d'ordre p^ -+- q^ vPi fois covariant et Çi fois contravariant) par un tenseur d'ordre Pa -i- Qz, est un tenseur d'ordre (Pi 4- Pa) + (q^i + ^a) [(Pi+Pa) fois covariant, (pa 4- Qz) fois contravariant]. Les composantes du tenseur produit sont égales respectivement aux produits des composantes du premier tenseur par les composantes du second. Remarquons en passant que, d'après cette règle, on obtient un tenseur auquel il ne manque aucun terme, si les tenseurs facteurs n'ont pas de lacunes, c'est-à-dire s'ils possèdent les termes correspondant à tous les arrangements complets des indices. En effet, le premier tenseur contient mPi"^?' termes, le deuxième n.^"'"'^; le tenseur produit en contient d'après la manière d'effectuer la multiplication :
c'est-à-dire :
qui est bien le nombre des arrangements avec répétition de n lettres prises (pi 4- Po H- îi + Qa) à (p^ -h p, 4- ^i + q.)-
Contraction. — Considérons le tenseur mixte du second ordre
dont les composantes sont Oi^. Je dis que ^a^* est un invariant,
• j c>st-à-dire que c'est un nombre indépendant du système de coordonnées; en d'autres termes :
où les a/ désignent les composantes du tenseur donné dans le sys-
tème de coordonnées (ûi,...îï„). D'après les formules de transformation (I) et (II) et d'après la règle de transformation des composantes d'un tenseur, on a on effet :
donc :
par suite :
a! = Yar^ja/
r, s i rsi r. s
Mais au chapitre I, nous avons vu que
Par conséquent :
puisque les seuls termes de la somme du deuxième membre qui ne sont pas nuls sont ceux pour lesquels r=s. De plus puisqu'une somme ne dépend pas du nom de l'indice par rapport auquel on somme, on a bien :
A partir d'un tenseur mixte d'un second ordre, nous avons obtenu un invariant grâce à une opération extrêmement simple : la sommation de certaines composantes bien déterminées de ce tenseur mixte, celles dont l'indice inférieur est égal à l'indice supérieur. Cette règle se généralise aisément ; celle qui vient d'être obtenue forme d'ailleurs l'élément essentiel de la démonstration. Soit un tenseur d'ordre {p-\-q) (p fois covariant et q fois contra variant) ; considérons parmi ses composantes, celles dont un indice supérieur situé à une place bien déterminée est égal à un indice inférieur situé à une place déterminée aussi ; sommons toutes ces composantes là, suivant l'indice commun sur lequel nous portons notre attention ; le résultat de cette somme est la composante générale d'un tenseur nouveau d'ordre p-\-q — 2 [(p — 1) fois covariant {q — 1) fois contra variant]. Pour fixer les idées, considérons le
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tenseur dont les composantes sont a^/'"^(p = 3, g = 2) ; prenons toutes les composantes pour lesquelles j = m, Oi/J'' et sommons par rapport à l'indice j commun,
je dis que les b/r sont les composantes d'un tenseur du 3® ordre (p+q — 2). En effet, le tenseur \. a,/'"r^^/C/"„,4''' peut s'écrire :
ijlmr j'n \ ilr j
ce qui prouve que
ilr
représente la composante (/') d'un tenseur mixte du second ordre Mais ^jCj' est un invariant, donc :
ilr j
est un invariant, ou encore en effectuant la somme intérieure :
^ib/,i^^iY = invariant ;
tir
ce qui prouve que les bi',. sont les composantes d'un tenseur d'ordre 3.
L'opération qui permet ainsi d'obtenir à partir d'un tenseur d'ordre p-\-q, un nouveau tenseur d'ordre p 4- q — 2 est la contraction *.
On peut continuer :
est une composante d'un nouveau tenseur covariant du P"" ordre, or :
* Les géomètres allemands appellent cette opération Verjûrtgung (raieunissemenl) ; c'est M. Langevin, dans son cours au Collège de France qui a introduit le terme heureux de contraction.
30 IIVTRODUCTION AU CALCUL TENSORIEL
jjar conséquent, on peut contracter une deuxième fois le tenseur dont les composantes sont les a. Plus généralement on peut contracter un tenseur d'ordre (p + q) un nombre de fois égal au plu:> pelit des nombres p et q.
Pour simplifier l'éeriture, M. Einstein a imaginé une convention ingénieuse. Toutes les fois que dans une expression intei-vient une sommation portant sur un indice qui est à la fois covariant et con-
travariant, on supprime le signe y^, en convenant bien entendu
que le simple fait pour un même indice de coexister sur la ligne supérieure et sur la ligne inférieure des indices implique une sommation par rapport à cet indice. Ainsi Oi"^ voudra dire (à moins de mention expresse), ^a/. On écrira :
ai/^ = biK a,l\ = d,..
Puisque les séries de variables covariantes ou contravariantes sont les composantes de tenseurs du premier ordre covariants ou contravariants, les tenseurs tels que nous les avons définis sont déjà des exemples particuliers de contraction.
En effet, le tenseur :
nest pas autre chose que la contraction triple du tenseur dont les composantes sont :
et où l'on a fait : i = s, k = t, l = v. F = Cii}'\ On peut donc écrire aussi suivant notre convention :
