NOUVELLE DÉFINITION DES TENSEURS

Dans le plan ou dans l'espace, les théorèmes de la géométrie élémentaire ou de la trigonométrie sphérique donnent immédiatement la longueur d'un vecteur quand on a choisi une unité de longueur et quand on connaît ses composantes dans urt système de coordonnées. Au lieu de partir de ces notions familières, il nous paraît plus profitable de définir la métrique d'une multiplicité linéaire de vecteurs à un nombre quelconque n de dimensions et d'appliquer ensuite les théorèmes généraux auxquels ces définitions conduisent aux deux cas particuliers que nous venons de rappeler. Nous aurons alors d'un coup d'œil, pour ainsi dire, la signification intuitive de nos nouvelles notions.

L'algorithme fondamental pour l'introduction d'une métrique dans la géométrie linéaire est celui de forme bilinéaire de deux vecteurs et de forme quadratique d'un vecteur.

Une forme bilinéaire de deux vecteurs est un tenseur deux fois covariant qui porte sur les deux séries de variables, représentant chacune les composantes contravariantes des deux vecteurs ; en d'autres termes, une forme bilinéaire de deux vecteurs est une forme qui est linéaire par rapport à chacun d'eux, au sens que nous avons donné à ces termes dans le chapitre I.

Soient (ç^..i") et (7i^..ti") les composantes contravariantes de deux vecteurs x et y ; le tenseur

Q(x,y) = aiT,\\^

est une forme bilinéaire, dont les Oik sont dits les coefficients ; cette forme est non dégénérée si le déterminant | Oi^ [ ^f: o. La forme est symétrique, si l'on a toujours, quels que soient x et y :

Q(x,y) = Q(y,x) dans ce cas :

OiklS'' = QiklW

quels que soient les ç et les tj, donc : a^k = du- Faisons y = x, alors :

0 (x; x) = 0 (X) = aikl'l^

est dite une forme quadratique du vecteur X.

Par ce procédé d'identification des arguments, on fait correspondre à une forme bilinéaire, une et une seule forme quadratique. La réciproque de cette proposition n'a pas de sens précis. Soit en effet, une forme quadratique :

bikVl\ (1)

on peut montrer aisément qu'elle peut provenir d'une infinité de formes bilinéaires par identification des deux arguments ; on peut l'écrire :

i tk

où la deuxième sommation s'étend seulement aux combinaisons des indices i et k. La forme bilinéaire

aik\\^ (2)

engendre la forme quadratique (1) si

au = bu et Oifc H- au = bik + bn ;

or si on se donne les brs, ces équations ne déterminent pas univoquement les oik. Mais si l'on exige que la forme bilinéaire (2) soit symétrique, on voit qu'il y en a une et une seule qui engendre la forme (1), c'est celle dont les coefficients sont donnés par les équations :

bih- -h fjki

FORMES BILINÉAIRES ET QUADRATIQUES 33

Nous nous arrangerons dorénavant, ce qui est toujours possible d'une seule manière, à écrire toute forme quadratique avec des coefficients symétriques (b,fc = bu)- De cette manière, la forme bilinéaire :

Q(x,y) = Ciifc^^Ti*

engendre la même forme quadratique que celle qu'engendre la forme bilinéaire symétrique :

On démontre dans les traités d'algèbre les théorèmes suivants : Toute forme quadratique Q(x), non dégénérée (c'est-à-dire prove nant d'une forme bilinéaire symétrique non dégénérée) est décomposable en une somme de carrés de formes linéaires du vecteur x ; ces formes linéaires sont au nombre de n et sont indépendantes.

Ces carrés peuvent être d'ailleurs précédés du signe moins ou du signe plus, mais Hermite a démontré que pour une forme quadratique donnée, les diverses décompositions possibles conduisent toujours au même nombre de carrés positifs et par conséquent au même nombre de carrés négatifs.

Une forme quadratique qui reste positive quel que soit l'argument x^o, et qui ne s'annule que pour x = o est une forme définie positive. Si elle est toujours négative, sauf pour x ^ o, argument pour lequel elle s'annule, elle est dite définie négative.

Une forme définie est non dégénérée ; si elle est définie positive, elle est une somme de n carrés tous positifs.

Produit scalaire de deux vecteurs. — Deux vecteurs x et y déterminent un nombre x.y qu'on appelle leur produit scalaire et qui satisfait aux équations fonctionnelles suivantes :

si X = u 4- V

cette deuxième égalité entraîne

3) Xx.y = X(x.y)

si ). est rationnel, nous posons que 3) est vraie quel que soit X.

Les égalités 2) et 3) montrent que le produit scalaire est une forme linéaire par rapport au premier facteur; l'égalité 1) montre,

Calcul lensoii.'l. 3

34 INTRODUCTION AU CALCUL TENSOftIEL

à cause de la commutât ivité qu'elle exprime, que le produit scalaire est aussi linéaire par rapport au deuxième facteur, donc le produit est une forme bilinéaire des deux -vecteurs ; toujours à cause de 1), on déduit que cette forme est symétrique :

x.y = ()(x,y) = (jiicV^f ; (g^k = gu)

■les^* et les t]*' étant les composantes contravariantes du vecteur dans le système de coordonnées choisi.

Le produit scalaire de x par lui-même est donné par la forme quadratique :

x.x = x^ = (?(x) = gikl'V'.

Dès que l'on a choisi un vecteur unité u, pour lequel u^ = 1, comme unité de mesure de longueur, le -nombre x^ mesure le carré de la longueur du vecteur X.

En géométrie élémentaire, et en général dans presque toutes les considérations d'ordre géométrique, la forme quadratique Q est définie positive, la longueur d'un vecteur est donc toujours un nombre réel ; mais dans la théorie de la relativité la forme Q, qui mesure le carré de la longueur des « vecteurs d'univers », n'est pas définie. Dans les considérations qui suivent — à moins de mention expresse — nous supposerons que Q est une forme quadratique non dégénérée quelconque.

Si une transformation linéaire (voir page 18) est telle qu'au vecteur X, elle fasse correspondre le vecteur x' et que l'on ait, pour tous les couples de vecteurs correspondants :

on dit qu'elle est une transformation congruente et que les deux vecteurs x et x' sont congruents. Une transformation congruente n'altère pas le produit scalaire de deux vecteurs, car si à x correspond x' et à y correspond y', à x-+-y correspond x' H- y' ; on a:

Q(x'-4-y', x' -h y') = Q(x -h y, x-f-y) mais puisque

on en déduit :

FORMES BILINÉAIRES ET QUADRATIQUES 35

Ces deux vecteurs déterminent une grandeur que nous appellerons l'angle 6 des deux vecteurs ; supposons que leurs longueurs soient égales à l'unité, nous poserons

cos 6 = Q(x,y).

Le vecteur Àx a pour longueur X = \/Q(Xx),

le vecteur [j.y a pour longueur [t = V'QCfiy) l'angle des deux vecteurs Xx et [xy sera par définition le même que celui des deux vecteurs x et y, donc :

cos e = "^ ' ^^^ ,

on a donc pour tous les vecteurs a et b :

cos 0 = ^ A)

Les deux vecteurs a et b sont orthogonaux si leur angle est droit, c'est-à-dire si cos 6 = o ; dans ce cas

Remarquons que si Q est une forme indéfinie, f cos 6 1 peut être plus grand que l'unité. Ce n'est que si la forme Q est définie positive que l'on a toujours

[cos e| <i.

En effet, de

0(Àx + fxy) = X^QCx) + 2XîxQ(x,y) -f- v.^Q{y) ^ o on déduit que le discriminant :

Q'(x,y)Q(x).0(y) est inférieur à zéro, donc :

slQi^YQlj)

Composantes covariantes d'un vecteur. — Le tenseur symétrique dont les composantes sont les nombres gik appliqué aux deux vecteurs x($0 et y(T]*) détermine le produit scalaire de ces deux vecteurs :

x.y = fifu-^S". (3)

Ce produit peut s'écrire autrement ; en effet, considérons le tenseur covariant du premier ordre dont les composantes sont ks nombres gikl^ ; une fois que le tenseur métrique est donné — et cela est fait une fois pour toutes — ce nouveau tenseur du premier ordre ne dépend que du vecteur X ; il en dépend linéairement même et par suite, ses différentes composantes sont des formes linéaires du vecteur x. Posons :

gikl'=h (/c = l, 2, ...n) (4)

les Ijc sont appelés les composantes covariantes du vecteur X. Je dis que le vecteur est bien déterminé quand on connaît ses composantes covariantes. Il suffit, en effet, de faire voir que les n équations précédentes admettent une solution et une seule pour les V quand les seconds membres sont donnés ; or cela est évident puisque le déterminant du système n'est pas autre chose que le déterminant \gik\ des coefficients de la forme bilinéaire (3), cette forme, par hypothèse, n'étant pas dégénérée, on a bien \gik\ ^o. On peut donc écrire :

xy = hr]^.

Remarquons que, puisque gik = gjd, on a : gijcV = gui' = Ik.

Par conséquent, on peut poser sans contradiction :

et le produit scalaire des deux vecteurs peut encore s'écrire

Le produit scalaire de deux vecteurs est une forme bilinéaire de dewc facteurs ; les coefficients de cette forme bilinéaire sont : ou bien les nombres gik si les vecteurs sont donnés par leurs composantes contravariantes, ou bien les nombres of ( , 1 . . ,

\= i ( SI i = k

si l'un des vecteurs est donné par ses composantes covariantes et lautre par ses composantes contravariantes. Qu'arrive-t-il si les deux vecteurs sont donnés par leurs composantes covariantes ? Résolvons les équations (4) ; les ?* doivent s'exprimer linéairement en fonction des Ik et les coefficients de ces formes linéaires doivent être les composantes d'un tenseur contravariant du second ordre :

FORMES BILINÉAIRES ET QUADRATIQUES 37

or d'après la règle de Cramer g'^ est égal au facteur de l'élément Qik dans le développement du déterminant | gik |, divisé par ce déterminant lui-même. Par conséquent, on peut encore écrire :

x.y = 1% = g'^lm = gHmk

car les nombres g^'' sont évidemment tels, que y**= = g^^.

Le produit scalaire est donc encore un tenseur contravariant du «econd ordre dont les composantes sont les nombres g**. Il semble donc que la notion de tenseur métrique devienne ambiguë ; nous allons voir que si dans la géométrie affine, il est possible de définir un tenseur d'une manière telle que sa nature (p fois covariant et q fois contravariant) le caractérise en tout et partout, il en est tout autrement en géométrie métrique ; la nature d'un tenseur n'est plus univoque, seul son ordre k le caractérise parfaitement.

Modifions tout d'abord légèrement la définition donnée au chapitre I. Un tenseur d'ordre (p-hq) y était défini comme une fonction (p -f- 7) - linéaire de p séries de variables contravariantes et de q séries de variables covariantes. Cette fonction est un invariant pour les transformations linéaires de coordonnées. Cet invariant reste un invariant lorsqu'on remplace chaque série de variables contravariantes par les composantes contravariantes d'un certain vecteur et chaque série de variables covariantes par les composantes covariantes d'un certain vecteur. Le tenseur devient une forme multilinéaire invariante de (p + g) vecteurs ; il est bien entendu que p de ces vecteurs sont donnés par leurs composantes contravariantes et q par leurs composantes covariantes.

Je dis qu'il est possible de lever cette dernière restriction et de définir le tenseur d'ordre k comme une forme fe-linéaire de k vecteurs.

Pour le faire voir effectivement, prenons un cas particulier qui laisse entrevoir toutes les possibilités et qui permette de fixer nos idées tout en nous dispensant d'un flot d'explications.

Le tenseur A d'ordre (3-hl), dont les composantes sont aik^m est une forme quadrilinéaire des quatre vecteurs X, y, z, t, donnés respectivement par leurs composantes V, r\^, lu t "* :

A = aik\.X'n%r"'