LIVRE I. — DES QUATRB OPÉRATIONS ALGÉBRIQUES

De cette règle et du n* 403 découlent les règles suivantes pour former le produit :

1* Le produit a le signe + quand le nombre des monomes facteurs négati fs est nul ou pair ; il a le signe — quand le nombre de ces facteurs est impair;

2* Le coefficient du produit est égal au produit des coefficients des facteurs;

3” Chaque lettre qui se trouve au moins dans l’un des facteurs s’écrit une seule fois au produit;

6° Chaque lettre du produit a pour exposant la somme de ses exposants dans les facteurs.

Ainsi on a :

3a* x — 2 aè* x — 5a‘6c* x — 5c = — 150a763c*.

403. Le produit de plusieurs monomes change ou ne change pas de signe, selon qu’on change de signe un nombre impair ou un nombre pair de ses facteurs (404).

406. Le produit de plusieurs monomes ne change pas quand on intervertit Vordre de ses facteurs (40).

407. Pour multiplier un polynôme par un monome, on multiplie successivement chacun des termes du polynôme par le monome d’après les règles données pour obtenir le produit des deux monomes (403). Exemple :

3a’ + 4 ab — 6’c

2 afc*

Pour indiquer la multiplication d’un polynôme par un monome, on écrit ce polynôme entre parenthèses et on le considère comme un monome. Ainsi pour indiquer le produit de 3a* + 4aZ> — b'c par 2a6*, on écrit : -

(3a* + Ixab — 6*c) x 2a 6*.

Quand le facteur monome est positif, on supprime souvent le signe x. Il en est de mêmejorsque le monome est négatif, mais alors placé avant le polynôme. Ainsi — a (a — 6), de même que — a x (a — b) indiquent le produit de — a para — 6; mais en intervertissant l’ordre des facteurs (405), il faut écrire (a — 6) x — a.

408. Pour multiplier un polynôme par un polynôme, on multiplie successivement tout le polynôme multiplicande par chaque terme du multiplicateur (407) , et on fait l'addition des produits partiels (40t et 413). Exemple:

DEUX! tHS PARTIE. — ALGÈBRE.

Multiplicande &a’+ 2a*6 — 5a6* — 26* Multiplicateur 2a* — 3ab + 6*

1* produit partiel a» id.

y id.

8a* 4- ûa*6 — 10a*6* — 4a*65

4 ûa56’4 2a*6* — 5a65 — 26*

Produit 8a5— 8a‘6— 12a56* 4 13a*6s 4 a6‘ — 26*.

Pour indiquer la multiplication d’un polynôme par un autre, on les écrit entre parenthèses, et on les considère comme des monomes. Ainsi la multiplication précédente s'indique

(ûa* 4- 2a*6 — 6 aô* — 26«) (2a* — 3a6 4 6*).

400. Le produit de plusieurs polynômes s'obtient en multipliant les deux premiers polynômes entre eux, le produit obtenu par le 3' polynôme, et ainsi de suite jusqu'à ce que tous les polynômes aient été employés comme multiplicateurs. Cette règle est encore applicable aueas où il y a des facteurs monomes.

410. Le produit de plusieurs quantités algébriques, monomes ou polynômes, ne change pas quand on intervertit l’ordre des facteurs (406),

411. Ordonner un polynôme par rapport à une lettre, c'est disposer ses termes de manière que les exposants de la lettre considérée aillent en croissant ou en décroissant.

Le polynôme abK 4 3a56 — 5a*6* 4 a5, ordonné par rapport à la lettre a, suivant l’ordre croissant, donne

suivant l'ordre décroissant, il devient

Dans cet exemple, on voit que le polynôme se trouve en même temps ordonné par rapport à la lettre 6.

La lettre par rapport à laquelle un polynôme est ordonné est dite lettre principale.

Lorsque plusieurs termes du polynôme contiennent la même puissance de la lettre principale, on écrit une seule fois cette puissance, et à sa gauche, entre parenthèses, ou dans une colonne verticale séparée par un trait, les quantités qui multiplient cette puissance. Ainsi le polynôme

8a*6 — 5a6* 4 26* — a’ 4 iab — 36* — a , ordonné par rapport aux exposants décroissants de la lettre a, devient

LIVRE I. — DES QUATRE OPÉRATIONS ALGÉBRIQUES. (36 — 1) a* + (— 56* + 66 — 1) a + 26* — 36*

Il convient d’ordonner, êmme on vient de le faire, par rapport à une autre lettre 6, les polynômes multiplicateurs des différentes puissances de la lettre principale a.

412. Un polynôme ordonné est dit complet ou incomplet , selon qu'il contient ou non ia lettre principale avec tous les exposants inférieurs au plus grand qu’elle possède. Ainsi le polynôme a* -f 3<i16 — 5a*6* •+• ab * est complet par rapport à a ; il est, au contraire, incomplet par rapport à 6, parce qu’il ne contient pas b1.

413. On facilite beaucoup la réduction des termes semblables dans la multiplication des polynômes, en ordonnant ces polynômes par rapport à une même lettre. C’est ce que l'on a fait dans l'application du n- 608.

414. Lorsque deux polynômes et leur produit sont ordonnés par rapport à une môme lettre, le premier terme du produit provient, sans réduction, de la multiplication des premiers termes des facteurs, et son dernier terme est le produit des derniers termes des deux facteurs (608).

413. Si deux et en général un nombre quelconque de polynômes sont homogènes, leur produit est homogène, et son degré est égal à la somme des degrés des facteurs (396). Si tous les facteurs no sont pas homogènes, le produit n’est pas homogène.

41 ii. Le carré de la somme de deux quantités se compose (86 et 232):

1° Du carré do la première quantité; 2° du double produit de la première quantité par la seconde; 3° du carré de la seconde. Ainsi on a

417. Le carré de la différence de deux quantités se compose : 1* du carré de la première quantité; 2° moins le double produit de la première quantité par la seconde; 3° plus le carré de la seconde. Ainsi

41 B. Le carré de la somme de deux quantités moins le carré de leur différence est égal 6 6 fois le produit de ces quantités (602, 616 et 617)

410. Le cube de lasomme de deux quantités se compose (86 et 260): 1° du cube de la première quantité ; 2° du triple produit du carré de la

OBUXltMK PARTI». — ALGÈBRE.

première quantité par la seconde: 3* du iripie produit de la première par le carré de la seconde ; 4° du cube de la seconde:

(a + bf = cs + 3a*6 + 3a6* + 6*. (408)

420. Le cube de la différence de deux quantités se compose : 1” du cube de la première quantité; 2" moins le triple produit du carré de la première quantité par la seconde; S” plusse triple produit de la première quantité par le carré de la seconde; 4° moins le cube de la seconde :

421. Le produit de la somme de deux quantités par leur différence est égal à la différence des carrés de ces quantités :

(2a 6 + 36’c) x (2 ab - 3 b'c) = 4al6* — 96‘e’. (408)

422. Le carré d'un polynôme quelconque se compose : du carré du premier terme, du double produit du premier terme par le second, du carré du second, des doubles produits de chacun des deux premiers par le troisième, du carré du troisième, des doubles produits de chacun des trois premiers par le quatrième, du carré du quatrième, etc. Ainsi on a

(a + 6 — c)* = a’ + 2a 4 + 6* — 2ac — 26c + c’; (408)

(a + bx + ex * + dx3)' = a* + 2abx + 6’i’ + 2acx* + 26cx* + c*x‘ 4- + 2 adx3 + 26dr* + 2 cdx3 + <Pxl.

Division.

423. Une quantité algébrique est divisible par une autre, lorsque le quotient de la première par la seconde est une quantité entière 1388).

424. Pour diviser un monome par un monome on distingue, comme pour la multiplication (403), quatre règles :

1" Le signe du quotient est + ou — selon que le dividende et le diviseur ont le môme signe ou des signes contraires. Ainsi + divisé par + et — divisé par — donnent + au quotient, au lieu que + divisé par — et — divisé par + donnent — au quotient;

2" Le coefficient du quotient s'obtient en divisant le coefficient du dividende par celui du diviseur;

3® Toute lettre du dividende et du diviseur s'écrit une seule fois au quotient ;

4’ L'exposant de chaque lettre du quotient est égal à l’exposant de cette lettre dans le dividende , moins l’exposant de cette même lettre dans le diviseur.