LIVRE II!. — LE? TROIS CORPS RONDS

1102. Un triangle sphérique est polaire d'un autre triangle lorsque les sommets du premier sont les pôles des côtés du second (793). On suppose qu’on prend pour pôle de chaque côté du triangle celui qui est situé dans le même hémisphère que ce triangle, par rapport à la circonférence dont ce côté fait partie.

«03. Une pyramide sphérique est un solide OARC compris sous un polygone sphérique ABC, et les secteurs circulaires OAB, OAC, OBC. qui ont pour bases les différents côtés du polygone et pour sommet commun le centre de la sphère (fig. 97). Ce polygone est la base de Ut pyramide. Le centre de la sphère en est le sommet.

«04. Une pyramide sphérique est birectangle ou trireclangle selon que sa base est un triangle birectangle ou trirectangle (801).

803. Trois grands cercles, tels que le plan de chacun d’eux est perpendiculaire aux plans des deux autres, partagent la sphère en huit pyramides trircctangles égales entre elles, et sa surface en huit triangles trirectangles égaux entre eux.

800. Dans tout triangle sphérique un côté quelconque est plus petit que la somme des deux autres et plus grand que leur différence (549).

807. La somme des côtés de tout polygone sphérique est moindre que la circonférence d’un grand cercle.

808. I, 'angle de deux arcs de grand cercle (795) est égal à l’angle plan de l’angle dièdre formé par les plans des deux arcs.

l^es angles d'un polygone sphérique sont les angles plans des angles dièdres formés par les plans de ses côtés (712).

800. La somme des angles d’un triangle sphérique est moindre que 6 et plus grande que 2 droits.

810. Deux triangles sphériques situés sur la même sphère ou sur des sphères égales sont, égaux: 1" quand ils ont un angle égal compris entre côtés égaux chacun à chacun et placés de la même manière; 2" quand ils ont un côté égal adjacent A deux angles égaux chacun à chacun et placés de la même manière; 3“ lorsqu’ils ont les trois côtés égaux chacun à chacun et placés de la même manière; 4° quand ils ont les trois angles égaux chacun à chacun et placés de la même manière (567, 730).

811. On peut construire un triangle sphérique : 1“ étant donnés deux côtés et l'angle qu'ils comprennent ; 2“ étant donnés un côté et les deux angles adjacents; 3" étant donnés les trois côtés; 4” étant donnés les trois angles (573).

812. On appelle zone, la partie de surface d’une sphère comprise entre deux plans parallèles CED, AEB (fig. 96). Les bases de la zone

sont les deux circonférences CED, AEB qui la terminent Lorsque l’un des deux plans est tangent à la sphère, la zone n'a qu’une base, et elle prend le nom de calotte sphérique.

813. On nomme segment sphérique, la partie de sphère comprise

198 TROISIÈME PARTIE. — GÉOMÉTRIE DÉ l/ESPACE.

entre deux plans parallèles CED, AFBf./fy. 96). Les bases <Tun segment sont les deux cercles CED, AFB qui le terminent Lorsqu’un des deux plans parallèles est tangent à la sphère, le segment n’a qu'une base.

814. 1a i hauteur dune sone ou dun segment sphérique est la distance 01 des deux plans parallèles qui comprennent la zone ou le segment (Jig. 96).

813. Une droite est inscrite dans une sphère lorsqu’elle a ses extrémités sur la surface de la sphère; telle est AB [Jig. 96).

818. Un polyèdre inscrit est celui dont tous les côtés sont inscrits dans la sphère. Une sphère est circonscrite à un polyèdre quand le polyèdre est inscrit dans la sphère (588).

817. Étant donnés quatre points non situés dans un même plan on peut toujours trouver un point également distant des quatre premiers; mais on n'en peut trouver qu’un seul, qui est le centre de la sphère que l'on peut toujours faire passer par ces quatre points (597).

818. Les six plans perpendiculaires aux milieux des arêtes d’un tétraèdre se rencontrent au point unique également distant des quatre sommets du tétraèdre. Ce point est le centre de la sphère que l'on peut toujours circonscrire au tétraèdre.

810. Une ligne droite AE et une sphère O sont tangentes lorsqu’elles ont un seul point A commun Jig. 97).

820. Un plan DAE est tangent à une sphère O lorsqu’il rencontre sa surface en un seul point A Jig. 97).

Tout plan DAE perpendiculaire à l’extrémité du rayon OA est tangent à la sphère (590). Toute droite AD perpendiculaire à l’extrémité du rayon OA est tangente à la sphère, et située dans le plan tangent à la sphère au point A [Jig. 97).

821. Un polyèdre est circonscrit à taie sphère lorsque chacune de ses faces est tangente à la sphère.

Une sphère est inscrite dans un polyèdre lorsque le polyèdre est circonscrit à la sphère (593).

822. Les six plans bissecteurs des angles dièdres d’un tétraèdre se rencontrent au point unique également distant des quatre faces du tétraèdre. Ce point est le centre de la sphère que l'on peut toujours inscrire dans le tétraèdre.

823. Deux sphères sont tangentes lorsqu'elles ont un seul point commun (591).

824. Deux sphères qui ont un point commun sur la ligne des centres, c’êst-it-dire sur la droite qui passe par les centres, sont tangentes extérieurement ou intérieurement selon que ce point est situé entre les centres ou sur un des prolongements de la droite qui les joint.

On a pour les surfaces des sphères des propositions analogues à celles données aux n”‘ 598 et suivants pour les circonférences ; seulement les surfaces des sphères se coupent suivant des circonférences.