IA

moins. Que le polygone soit convexe ( fig . 154), ou qu'il ait un angle rentrant {fig. 155), on joint C, E ; on mène DF parallèle à CE, et traçant CF, les deux triangles CED, CEF sont équivalents (638), et par suite aussi le pentagone ABCDE et le quadrilatère ABCF.

Remarque. Par cette marche on peut transformer un polygone quelconque en un triangle équivalent.

940. Construire un carré équivalent à la différence de deux carrés donnés, a et 6 étant les côtés des carrés donnés, Fig. 156. on frace doux droites AB, AC perpendiculaires

entre elles; sur l’une on prend AB=a < b, et du point B comme centre, avec b pour rayon, décrivant un arc de cercle, il détermine AC , qui est le côté cherché. En effet, le triangle rectangle ABC donne bien (647)

ÂC! = BC’ — ÂB* = 61 — a* .

On serait arrivé à la même solution en décrivant une demi-circonférence sur une droite BC = b comme diamètre; en inscrivant, à partir de B, une corde BA = a, et en menant AC (601).

Ayant le côté AC, on construira le carré comme au n* 927.

941. Construire un carré équivalent au résultat de. la combinaison par voie d'addition et de soustraction de tant de carrés qu'on voudra, a, b, c, d étant les côtés des carrés donnés, pour déterminer le côté k d’un carré tel que l’on ait

k*=at + b' + ci—d'1,

on trace deux perpendiculaires AB, AC égales à a , b, et on joint CB; au point C on mène CD = c perpendiculaire à CB, et on joint DB; sur BD comme diamètre on décrit une demi-circonférence, et portant DE=d,

Fig. 157.

puis menant BE, cotte droit/* est la valeur de k. En effet , les triangles rectangles successifs que l’on a construits donnent (647 et 1)40)

BC* = a* + 4’

BD,= BC1 -f- c>= a» + 6* + c1

BË* = BD* — (P = a* + b1 + c*- — <P.

Ayant le côté BE, on tracera le carré comme au n” 927.

948. Etant donnés deux polygones semblables p et p construire un troisième polygone P gui leur soit semblable, et équivalent : 1“ à leur somme ; 2» à leur différence :

1° On construit un triangle rectangle ABC [ffg. 157) ayant pour côtés de l’angle droit deux côtés homologues a et b des polygones p et p', et construisant sur l’hypoténuse BC = x, comme côté homologue de a et b, un polygone P semblable à p et p' (923), on aura P = p+p'. En effet, ayant (643)

p;p'=a* : 6*, d’où (p +p'): (a* + 6*)=rp 1 n*. (302)

comme on a de plus P;xt=p; a*,

ces deux proportions ayant trois termes égaux, puisque x‘=ai + b*, on a donc bien P = p + p'î

2° En prenant le plus grand côté b pour l’hypoténuse du triangle rectangle (fi g. 156), et construisant P sur le second côté AC=jrdo l’angle droit, par les mêmes raisons que dans le cas précédent, on aurait P z=p' — p.

045. Construire un rarré équivalent d un parallélogramme ou à un triangle donné, x étant le côté du carré, et b, h la base et la hauteur de la figure donnée, selon qu’il s’agira du parallélogramme ou du triangle, on aura (636, 639)

j* = 6xA ou i’ = 6x^

Ce qui montre que x sera une moyenne proportionnelle entre b et h dans le premier cas, et entre 6 et ~ dans le second (921).

Remarque. De ce n“ et de celui 939 résulte le moyen de construire un carré équivalent à un polygone donné quelconque. Puis le n” 941 permet d’obtenir le carré équivalent 4 tant de polygones donnés qu’on voudra, combinés par voie d’addition et de soustraction.

944. Construire sur une droite donnée c un rectangle équivalent à un rectangle donné qui a & et b pour dimensions. La 4' proportionnelle x aux trois lignes c, a, b est la seconde dimension du rectangle demandé (920). En effet, de

c'.a—b'.x, on tire bien c x x = a x b. (292)

PROBLÈMES

04î$. Construire un rectangle équivalent à un carré donné, et dont les deux dimensions fassent une somme donnée AB. Sur AB comme diamètre on décrit une demi-cir- ^ F conférence; on prend la perpendiculaire CD égaie ~7 I "'"'K ' au c0té c tlu carr6 donné, et menant DE parallèle

L !C L et EF perpendiculaire à AB, les deux segments AF

v c r R et BF sont les dimensions du rectangle cherché.

On a, en effet (618),

EF* oïl c* = AI’xBF.

Le problème n’est possible qu’autant que l’on à c < —, et l’on voit

de plus que parmi tous les rectangles de meme périmètre , le carré est un maximum .