Construire

Fig. 15».

un rectangle équivalent à un carré donné, et dont les dimensions aient entre elles une différence donnée AB. Sur AB comme diamètre on décrit une circonférence; ù l’extrémité A on élève une perpendiculaire AC égale au côté c du carré donné, et joignant CO, les dimensions du rectangle cherché sont CD et CE, En effet on a bien (6512)

CD ; c = c ; CE , d’od CD x CE = c*.

PROBLÈMES son LA SPHÈRE.

047, Étant donnée une sphère, trouver son rayon. On prend deux pointe A et B sur la surface de la sphère ; de ces pointa comme centres, ou mieux comme pôles, avec un rayon convenable, on décrit deux arcs de cercle qui se coupent en deux points D, D'; avec une autre ouverture de compas on détermine de même un troisième point D". D, D', D" étant également distant des points A et B, ils appartiennent à la circonférence du grand cerolo dont le plan est perpendiculaire au milieu de AB, et il on résulte que si l’on construit sur un plan un triangle ayant pour côtés les distances rectilignes des trois points D, ü', D" (908), la circonférence circonscrite à ce triangie sera égale à celle d’un grand cercle, et son rayon sera celui de la sphère (91ô).

Fig. i«v.

948. Etant donnés deux points A et B sur la surface de la sphère, décrire une circonférence du grand cercle qui passe par ces deux points. Des points A et B comme pôles, avec une ouverture de compas égale à la corde d’un quadrant (947), on décrit deux arcs de cercle qui se coupent au point C, et de ce point comme pôle, avec la même ouverture de compas, décrivant une circonférence, elle répond à la question.

On voit que la même construction peut servir à trouver les pôles d'une circonférence ou d’un arc de grand cercle.

Décrire la circonférence de petit cercle passant par trois points A, B, C situés sur la surface de la sphère. On détermine, toujours en opérant comme au n° 947, deux points D, D’ également distants de A et B, et par D, D' on fait passer une circonférence de grand cercle, dont le plan est perpendiculaire sur le milieu de AB, comme contenant les points D, D' et le centre O également distants de A et de B (683). On trace de même la circonférence de grand cercle dont le plan est perpendiculaire au milieu do BC ; cette circonférence rencontre la première aux points P et P' qui sont les pôles de la circonférence demandée, et permettent l’un et l’autre de la tracer.

949. Par un point A, pris sur la surface de la sphère, mener une circonférence de grand cercle perpendiculaire à une circonférence ou à un arc de grand cercle t donné BD. Du point A, situé sur BD ou hors de BD, comme pôle, avec la corde d’un quadrant (947), on décrit un arc de grand cercle qui coupe la circonférence donnée au point P; du point P comme pôle, avec la même ouverture de compas, décrivant une circonférence de grand cercle , elle passe par le point A et satisfait à l’énoncé.

Lorsque le point A est le pôle de BD, toute circonférence du grand cercle qui le contient satisfait 4 l'énoncé; mais dans tout autre cas il n’y a qu’une solution.

980. U y a trois problèmes qui paraissent appartenir à la géométrie élémentaire, et qui ne peuvent être résolus au moyen de la règle et du compas (897). Ce sont :

1* La trisection de l'angle, c’est-à-dire la division d’un angle ou d’un arc en trois parties égales ;

2° La quadrature du cercle, qui consiste à trouver le côté d’un carré ayant la même surface qu’un cercle donné;

Fig. 16t.

Fig. 165.

Fig. 161.

PRom.tWES.

3’ La duplication du cube, ou trouver le côté d'un cube double d’un cube donné.