HÊTEKNI&ATION D'UN POINT

Quand z=0, c’est qua le point est situé sur Taxe des y; y— 0 indique qu’il se trouve sur l’axe des x, et si on a à la fois x=0 et y — 0, c’est qu’il est question de l’origine O des axes.

Remarque 1. Ce qui vient d'être dit pour des axes perpendiculaires xx', y y' s'applique à des axes faisant entre eux un angle quelconque ; mais alors les lignes M/j, il q...., qui restent toujours parallèles aux axes yy, xx1, sont obliques sur les axes respectifs xx' et y y'.

Remarque 2. Dans le cas où les axes sont rectangulaires, joignant OM, le triangle rectangle Oll/j donne (647)

OM,=x,+y*.

La distance de l’origine à un autre point quelconque M', M'i...* donne la même relation avec les coordonnées du point considéré.

060. Moyen dejixer la position d'un point dans l'esjtace. De même qu'un point est déterminé sur un plan par scs projections sur deux droites rectangulaires tracées dans le plan (959), on connaît la position d'un point quelconque de respacc quand ses projections sur trois plans perpendiculaires entre eux sont déterminées (678).

En effet, a, b et c étant les projections d’un [joint M sur les trois plans xOy, xOz et yOz, déterminés par les axes rectangulaires xx, y y' etzzqui sont leurs intersections, si par chacun de ces points on élève une perpendiculaire au plan correspondant, chacune de ces perpendiculaires passera au point M, et ce point devant se trouver à la fois sur les trois perpendiculaires, il sera leur point unique de rencontre. Ainsi un point est bien déterminé par ses projections sur les trois plans.

Chacune des projections «, b, c étant déterminée quand on connaît ses projections respectives p et q, p et s, q et s, sur deux axes, il en résulte que ces trois projections, et par suite le point M , sont déterminées quand on connaît les trois points p,q, s, qui ne sont autre chose que les projections du point M sur les trois axes xx1, yy', zz‘ (633, 684)-

Les trois points p, q , s, situéssurles axes, étant déterminés par leurs abscisses par rapport à l’origine O (957), un point M est donc déterminé quand on connaît les abscisses de scs projections sur trois axes rectangulaires .

Les trois axes rectangulaires xx', yy', zz' prennent encore le nom d'axes coordonnés; xx1 est l’axe des x, yy' celui des y, et zz' celui des z.

Les trois plans déterminés par ces axes sont appelés plaîis coordonnés.

Les abscisses 0 p, O q et Os des projections du point M sur les axes sont appelées les coordonnées du point M ; O p en est l’abscisse z, O q

Fig. *”•

l’ordonnée y, et CU l’ordonnée z. Ainsi un point est déterminé par scs coordonnées (959).

Comme on a Op = Me, Oq = Mb et Oz=Ma, les coordonnées z, y et z d’un point sont donc égales aux distances de ce point aux plans coordonnés. Ces coordonnées sont positives ou négatives, selon que les projections du point sur les axes sont sur les parties Or, Oy et Oz, ou sur celles Oz', O y' et Oz’. Ainsi la coordonnée z sera positive ou négative, selon que le point M sera à droite ou à gauche du plan yOz, dit plan des y,z; y sera positive ou négative, selon que M sera en avant ou en arrière du plan zOz ou des z,z, et enfin z sera positive ou négative, selon qpe M sera au-dessus ou au-dessous du plan zO y ou des x,y. .

Quand tr = 0, c’est que le point est sur le plan yOz; de même si y=0, ou z=0, c’est que le point est respectivement sur le plan zOz ou zOy.

Quand on a à la fois deux coordonnées nulles, c’est que le point est sur l’un des axes; ainsi pour x=0 et y=0, le point est sur l’axe zz'. Si les trois coordonnées sont nulles, c’est que le point se trouve surles trois plans coordonnés, et ne peut être que l’origine.

Remarque 1. Ce qui vient d’être dit pour des plans ou axes rectangulaires s'applique à des plans ou axes faisant entre eux des angles quelconques; seulement alors les perpendiculaires Ma, M6, Mc aux plans de projection restant toujours parallèles aux axes, elles deviennent obliques. Les projections a, b, c sur les plans coordonnés, ou celles p, q, s sur les axes, au lieu d’être des projections orthogonales, sont alors des projections obliques. *

Remarque 2. La distance OM, du point M à l’origine O, étant la diagonale d’un parallélipipède qui a pour arêtes les coordonnées du point, dans le cas où les axes sont rectangulaires, le parallélipipède est rectangle, et on a

ÔM,=z* + y‘ + z\ (763)

Cette relation existe quelle que soit la position du point M autour de l’origine O.