MOYENS DE FIXER LA POSITION D’UNE DROITE
OCI. Tm position d'une droite étant fixée par celle de ses extrémités, elle le sera donc par les coordonnées de ses extrémités (960).
Une droite peut aussi être définie par les conditions qui font connaître : 1° la position de l’une de ses extrémités ; 2° la longueur de la droite; 3“ la direction et le sens de la droite.
1" La position de l’une des extrémités de la droite est définie par les valeurs algébriques des coordonnées de cette extrémité.
2° La longueur de la droite est définie , sans avoir égard au signe
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algébrique, par le rapport de son étendue à celle de l’unité linéaire (629).
3" Il reste à poser les données nécessaires pour fixer la direction et le sens de la droite.
Quelle que soit la position de la droite par rapport aux axes coordonnés, on connaîtra sa direction et son sens par rapport à ces axes, quand on aura sa direction et son sens par rapport à des axes parallèles aux premiers et menés par son extrémité déterminée.
002. Cette dernière partie de la question est donc ramenée à déterminer les données nécessaires pour fixer la direction et le sens de la droite par rapport à des axes coordonnés ayant pour origine une extrémité de la droite (502, 503).
Considérons d’abord le cas le plus simple, celui où la droite est dans l'un des plans coordonnés, celui des x, y, par exemple (960).
Soit Ou cette droite, dont le sens est indiqué par l’ordre Ou de ses extrémités ; la direction de cette droite sera déterminée quand on connaîtra l’angle uOx que fait la droite avec la partie Ox de l’axe des abscisses, et que, de plus, on indiquera que cet angle est compté en dessus ou en dessous de Ox, car on peut mener par O deux droites faisant des angles égaux avec la partie Ox. Afin de se dispenser de désigner si l’angle doit être compté en dessus ou en dessous de Ox, on a fait une convention analogue à celle mise en usage au n" 957 pour fixer la position d’un point. Ainsi on est convenu de considérer comme positifs tous les angles que décrit la droite Ou en tournant autour du point O dans le sens de la flèche AB, et comme négatifs ceux qu’elle décrit en tournant dans le sens de la flèche AC.
L'angle positif est nul quand Ou so confond avec Ox ; puis il prend toutes les valeurs positives comprises entre 0 et 90% pendant que Ou passe de Ox à O y; quand elle se confond avec O y, elle fait un angle positif de 90” avec Ox. Ou continuant à tourner, elle décrit tous les angles positifs de 90“ à 180”; elle fait ce dernier angle avec Ox, quand elle se confond avec Ox’. Continuant à tourner, les angles positifs prennent toutes les valeurs de 180" à 270“ ; à cette dernière valeur, elle se confond avec O y'. Tournant encore, elle vient se confondre avec Ox après avoir décrit tous les angles positifs de 270” à 360". Dans une nouvelle révolution Ou décrirait tous les angles positifs de 360" à 720", et continuant son mouvement , elle décrirait tous les angles positifs supérieurs à 720".
Si Ou avait tourné dans le sens de la flèche AC , elle aurait successivement décrit tous les angles négatifs , comme elle a décrit tous les
Fig, 16S.
angles positifs en tournant dans le sens de la flèche AB. Il est à remarquer que les angles + a, +(360° + a), +(720” + a), etc. (360° — a), — (720° — a), etc., désignent tous la même droite, en direction et sens.
Remarque, Pendant que la droite Ou décrit les angles autour du point O, chacun de ses points décrit les arcs correspondants à ces angles (578) , et suivant que les angles sont positifs ou négatifs, c’est-àdire selon le mouvement de Ou, ces arcs sont positifs ou négatifs. Ainsi un angle est déterminé quand on a l'arc correspondant, et réciproquement.
EXPRESSIONS TR1GONOMÉTRIQUES , LEUR USAGE POUR EXPRIMER LA VALEUR d’un ANGLE OU O’üN ARC QUELCONQUE , POSITIF OU NÉGATIF.
905. Dans le cas où la droite considérée Ou a une de ses extrémités
située à l’origine O, la droite est déterminée quand on connaît les valeurs algébriques des coordonnées y = Mp ; et x = M</ de son autre extrémité M (959).
Les rapports entre les quantités y, x et OM sont constants, quelle que soit la position du point M sur la droite Ou, c’est-à-dire quelle que soit la valeur de OM = r, quantité toujours positive, puisqu’elle indique la distance du point M à l'origine O, et qu’elle est comptée sur le sens positif de Ou ; il en résulte alors que si l’on n’a besoin que de connaître la direction et le sens de la droite, il suffit d’avoir les valeurs algébriques de deux des rapports constants qui existent entre r et chacune des quantités x et y correspondant à un point quelconque de Ou; car, attribuant une valeur quelconque à r, ces rapports donnent les valeurs correspondantes do x et y (A52).
904. Les quantités x, y, r fournissent entre elles 6 rapports, ou expressions Iriyonomèlriques, qui prennent les noms particuliers suivants :
Fig. ISO.
rapport de l’ordonnée Mp au rayon de l’arc AB passant par le
point M, est le sinus de l’angle uOx = a, et de l’arc AM, que nous désignerons aussi par a. U est de même signe que l’ordonnée y (WA);
