LITRE H. — PROPRIÉTÉS DES DIVISEURS ENTIERS

88. En général, pour avoir le reste de la division d'un nombre par une puissance quelconque de 2 ou de 5, il suffit de chercher le reste de la division, par cette puissance, du nombre qu’on obtient en prenant sur la droite du nombre proposé autant de chiffres qu’il y a d’unités dans le degré de la puissance. Ainsi pour avoir le reste de la division de 45737 par 2S = 8, ou par 5S = 125, on cherche le reste de la division de 737 par 8 ou par 125, ce qui donne respectivement 1 et 112.

89. Pour avoir le reste de la division d'un nombre par 9, on fait la somme de ses chiffres considérés comme des unités simples ; on opère sur cette somme comme sur le nombre proposé, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on obtienne un résultat qui n'excède pas 9. Lorsque ce résultat est moindre que 9, il est le reste cherché; s’il est 9, le reste est 0.

Pour avoir le reste de la division par 9 d’un nombre 75487, on fait la somme 7 + 8 + 4 + 5 + 7 = 31; puis celle 1 + 3 = 4, et 4 est le reste cherché.

On facilite l’opération en diminuant de 9 toute somme successive de chiffres qui dépasse ce nombre. Ainsi l’on dira : 7 et 8, 15 (moins 9), 6 et 4, 10 (moins 9), 1 et 5, 6, et 7, 13 (moins 9), 4.

Au lieu de retrancher 9, il est encore plus commode de faire la somme des chiffres de chaque somme partielle. Ainsi l’on dira : 7 et 8, 16, (1 et 5) 6 et 4, 10, 1 et 5, 6, et 7, 13, 4-

On abrège encore cette opération en négligeant les chiffres 9 et ceux dont il est visible que la somme est 9, ce qui arrive pour deux chiffres successifs dont la somme est 9 . Ainsi dans l’exemple précédent on dira, en négligeant 4 et 5 : 7 et 8, 15, 6 et 7, 13, 4.

90. Pour qu’un nombre soit divisible par 9, il faut et il suffit que la somme de ses chiffres, considérés comme des unités simples, soit divisible par 9, c’est-à-dire qu’elle soit un multiple de 9 (37 et 50).

9t. Pour avoir le reste de la division d'un nombre par 3, on cherche d’abord le reste de la division de ce nombre par 9 (89) ; puis le reste de la division de ce premier reste par le diviseur 3. Ainsi le nombre 75487 donnant 4 pour reste de la division par 9, et 4 divisé par 3 donnant 1 pour reste, 1 est le reste de la division du nombre proposé par 3.

92. Pour qu’un nombre soit divisible par 3, il faut et il suffit que la somme de ses chiffres, considérés comme des unités simples, soit un multiple de 3, c’est-à-dire soit divisible par 3 (37 et 50).

93. Pour avoir le reste de la division d'un nombre par 11, on le sépare en tranches de deux chiffres à partir de la droite , sauf à ne laisser qu’un seul chiffre à la dernière tranche à gauche ; on fait la somme des nombres qui en résultent, considérés comme exprimant des unités simples ; on opère sur cette somme comme sur le nombre proposé, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on obtienne un résultat qui n’excède pas 99 ; le reste

de la division de ce dernier résultat par il est égal au reste demandé. Ainsi, ayant à trouver le reste de la division du nombre 7345798 par il, on sépare ce nombre en tranches de deux chiffres, ce qui donne 7,34,57,98; faisant ensuite la somme

98 + 57 + 34 + 7 = 196, puis celle 96 + 1 = 97,

le reste 9 de la division de 97 par il est le resto de la division du nombre proposé par 11.

94. Pour faire la preuve par 9 de l'addition de plusieurs nombres entiers (suivre sur l’opération suivante), on cherche les restes 8, 3, 1, 4 de la division par 9 des nombres additionnés ; on fait la sommo 16 de ces restes, et si le reste 7 de la division de cette somme par 9 est égal au reste 7 de la division par 9 de la somme des nombres proposés, c’est que le résultat 2437 est exact (25).

Nombres.

Be marque. On peut rendre cette preuve plus expéditive en ajoutant le reste 8 du premier nombre aux chiffres du second nombre; le reste obtenu pour les deux premiers nombres aux chiffres du troisième nombre, et ainsi de suite ; ce qui revient à considérer tous les nombres comme placés les uns 4 la suite des autres et n'en faisant qu'un. Ainsi, en observant les abréviations du n“ 89, on dira : (en passant 2 et 7 dans le premier nombre et 4 et 5 dans le second) 8 et 3, 11 ; 2 et 3, 5 et 2, 7 et 5, 12; 3 et 8, 11 ; 2 et 3, 5 et 2, 7, nombre qui doit être égal au reste de la division par 9 de la somme 2437.

93. Pour faire la preuve par 9 de la soustraction (suivre sur l'exemple suivant), on considère le grand nombre 845 comme étant la et du reste 587, et on fait la preuve comme pour l’addition (94). Ainsi la somme 6 + 2 — 8 des restes de la division par 9 du petit nombre 258 et do la différence 587 étant égale au reste 8 de la division par 9 du plus grand nombre 845, c’est que l’opération a été bien faite (29).

soustraction la remarque du numéro préoé-

somme du plus petit 258

On peut appliquer 4 la

Reatea.