EXPRESSIONS TRIGONOMÉTRIQUIS. LEUR USAGE

»C9. II est à remarquer que les valeurs absolues des coordonnées y et x (963), et par suite oelles des expressions trigonométriques d’un angle quelconque uOx (98û), sont égales à celles de l'angle aigu que fait la droite Ou avec O i ou avec son prolongement Ox' ( fig . 169), cet angle aigu étant dans tous les cas considéré comme positif.

Il résulte donc qu’en formant le tableau (n" 1011) des valeurs des expressions trigonométriques correspondant à tous les angles positifs compris entre 0* et 90", il contiendra aussi les valeurs absolues des expressions trigonométriques d’un angle quelconque plus grand que 90"; ayant ces valeurs absolues, on leur donnera le signe qui convient à l’angle en consultant le tableau du n“ 908.

Veut-on avoir, par exemple, le sinus d’un angle uOx= + 215"? On remarque que Ou fait avec Ox' un angle aigu de 215 — 180=35°; on cherche dans la table (1011) le sinus 0,57358 de l’augle de 36°, et donnant à ce sinus le signe — , qui convient à l’anglode 215", on obtient — 0,57358 pour le sinus de l’angle + 216°.

Étant donné un angle quelconque , on peut donc déterminer les valeurs algébriques de ses expressions trigonométriques.

970. De là on est conduit à se demander si, étant donnés la valeur et le signe d’une seule expression trigonométrique, l’angle est déterminé. D’après ce qui précède, l’angle aigu « ayant la valeur donnée + s pour sinus, l’angle obtus supplémentaire 180°— a a le même sinus; le sinus proposé ne détermine donc pas un angle, puisqu’il satisfait à deux angles supplémentaires formés avec Ox par deux droites symétriques par rapport à l’axe O y. De même, à une valeur négative — s du sinus correspondent les deux angles ISO" + a et 360° — a, que font avec Ox deux droites symétriques par rapport à O y' [fi y. 169).

Comme à l’angle aigu x correspond un cosinus positif, tandis qu’à son supplément 180° — a correspond un cosinus négatif, on voit qu’étant donné un sinus positif, si en outre on Indique le signe du oosinus, l’angle sera déterminé. De plus, comme à l’angle 180° + * correspond un cosinus négatif, tandis qu’à l’angle 360" — x correspond un cosinus positif, on voit donc qu’étant donné un sinus quelconque, positif ou négatif, et le signe du cosinus correspondant, l’angle est déterminé.

On ferait voir de la même manière qu’à une même valeur positive du cosinus correspondent les deux angles a et 360° — a formés par deux droites symétriques par rapport à Ox; et qu’à une même valeur négative correspondent les deux angles 180 — a et 1 80° + a formés par deux droites symétriques par rapport à Ox'; mais que si en outre de la valeur algébrique du cosinus on donne le signe du sinus correspondant, l’angle est déterminé.

+ i étant la tangente d’un angle a, on aura à la fols t = ^ et t = ~ équations qui peuvent être satisfaites par deux droites Ou et

Ou", directement opposées et faisant'avec Ox les angles a et 180° + a. Ainsi l’angle n’est pas déterminé par sa tangente; il le sera quand, en outre, on connaitra le signe de l’une des coordonnées a; et y, ou, ce qui revient au même, celui du sinus ou du cosinus.

Si la tangente donnée était — t, on aurait à la fois — t = et

— t — , valeurs qui seraient satisfaites par deux droites Ou' et

Ou", directement opposées et faisant avec Oj- les angles 90" + a et 270" + a. L’angle n’est donc pas déterminé par ces valeurs; mais, comme dans le cas précédent, il le sera dès qu’en outre on connaîtra le signe du sinus ou du cosinus correspondant.

En général , à une môme valeur algébrique d’une des expressions trigonométriques principales, sinus, cosinus et tangente, correspondent, pour chacune des deux autres, deux valeurs égales et de signes contraires ; d'où il résulte que, connaissant la valeur de l’une quelconque de ces expressions, il suffira d’avoir le signe de l’une des deux autres pour que l’angle soit déterminé.

071. Désignation d'un angle au moyen des mots fruit, base, •pente. Quand , dans la pratique, on dit que le fruit d’un mur est de 0“,0i par mètre, par exemple, on entend que la face que l'on considère s’écarte de la verticale de 0",01 par chaque mètre de hauteur verticale, et 0,01 est la tangente de l’angle que forme la face du mur avec la verticale. Je base d’un talus par unité de hauteur a la même signification. La pente d’une route est la hauteur dont elle s’élève pour 1 mètre mesuré sur l'horizontale; ainsi, dire que la pente d’un chemin de fer est de 0”,003 par mètre, c’est indiquer que le chemin forme avec l’horizon un angle dont la tangente est égale à 0,003. Si le mètre était mesuré sur le chemin même, 0,003 serait le sinus au lieu d’être la tangente. Pu reste, dans les cas ordinaires de chemins de fer, et même de routes, les angles formés avec l’horizon sont assez petits pour que la tangente ne diffère pas sensiblement du sinus.

972. Nous avons vu comment, ayant une table des valeurs des expressions trigonométriquesdes angles de 0 à 90”, on déterminait ces valeurs pour un angle quelconque (869). Remarquant que le sinus , le cosinus , la tangente, la cotangente, la sécante et la cosécante d’un angle aigu sont respectivement égaux au cosinus, au sinus, à la cotangente, à la tangente, à la cosécante et à la sécante de son complément, il suffit donc de connaître les valeurs des expressions trigonométriques des angles de 0° à à5‘ pour pouvoir en conclure celles de tous les angles possibles. Veut-on avoir, par exemple, le sinus d‘un angle de 70"? Il suffit de chercher dans la table le cosinus 0,93969 de l'angle de 90 — 70 = 20° (983).

Le cosinus d’un angle de 125" a pour valeur absolue celle 0,57358