RÉSOLUTION DES TRIANGLES RECIT LIGNES QUELCONQUES
Application. Soit:
a = 6789“, 24, A=42"17'23",4 et B=87’24'tl",8.
Calcul de C
calcul de 6
calcul de c
lofj <*=3,8318212
10+ log sin B= 9,9995538 (973)
c' (10 + log sin A) = 0, 1 720615 (378)
% 6=4,0034365 et 6 = 10079^44;
log 0 = 3,8318212 10 + log sin 0=9,8861953 c'(10+ log sin A)=0, 1720615
calcul de S
loge — 3, 8900780 et c=7763",8C
2 log <1 = 7,6636424 10 + log sin B = 9,9995538 10 + log sin 0 = 9,8861953 c‘ log 2 = 9,6989700 c‘(10+ log sin A) = 0,1720615
log S = 7,4204230 et S = 26328300 m. c.
1002. 2* cas. On donne deux côtés a, b et Vangle A opposé à l'un (Peux, trouver c, U et C (909).
De la proportion
on tire
on a ensuite
puis-
donne
sin A; sin B = a; 6,
. „ 6 sin A
sin B= ;
0=180"— (A + B); sin A : sin C = a : c
sin C
sin A
On a la surface
ab sin C 2 '
Remarque. Cette solution demande quelques éclaircissements : la
Fig. isi.
môme valeur (a) de sinus B correspondant à deux angles supplémentaires, l’un aigu et l’autre obtus (970), il convient d’examiner dans quel cas il faudra prendre B aigu ou obtus, ce qui conduit aux remarques suivantes, qui découlent de ce que dans tout triangle deux angles ne peuvent être droits ou obtus (565), et que au plus grand angle est opposé le plus grand côté (550).
1° L’angle donné A étant droit ou obtus, l'angle B est nécessairement aigu. Ayant A > B, ou doit avoir aussi a > b. Il y a alors toujours une solution ; mais il n’y en a qu’une; c’est ce que fait voir la figure 182.
2" L’angle A éuint aigu, si l’on a en même temps «>6, d’où A>B, il en résulte encore que B est aigu, et il n’y a également qu’une solution. La ligure 183 fait voir qu’en effet l’angle A serait obtus dans le deuxièmo triangle ABC qui a a et 6 pour côtés. Dans le cas où A étant aigu on a a = 6, B’ tombe en A , et on obtient pour unique solution un triangle isocèle.
8“ Soit, comme dans le cas précédent, A aigu, mais a<b. Dans ce cas, B > A peut être aigu ou obtus ; il y a alors deux solutions ; c’est ce qu’indique la figure 185. Dans le triangle ABC, qui satisfait à l’énoncé, l’angle B est aigu ; dans le triangle ABC, qui satisfait également 5 l’énoncé, B'=180*— B est obtus.
Il y aura deux solutions tant que a< b sera plus grand que CD = 6 s in A, c’est-à-dire tant qu'on aura
... b fin A
a >b fin A ou < 1.
Lorsque a = CD = b fin A, l’arc BB’ est tangent à AB au point D, les deux triangles ABC et AB'C coïncident avec le triangle rectangle ADC, et il n’y a plus qu’une solution.
Enfin, si on avait a<CD ou a<bfin\, l’arc BB’ n'aurait aucun point commun avec AB, et il n’y aurait pas de solution.
Si, au lieu de commencer par déterminer les angles B et C, on avait voulu avoir d’abord le côté c, on aurait posé
d’où
a, = 6, + c1 — 26c cos A,
c*— 26 cos Axe — a* — 5*,
RÉSOLUTION DBS TRIANGLES RBCTIllGNBS QUELCONQUES. 215
et par suite
c—b cos A.±v/a* — cos' A. (Û88)
ou
c=6co»A±Va* — 6’ sin* A. (981)
1005. 3* cas. Connaissant deux côtés a, b et l'angle compris C,
trouver c, A, B.
1" On a
c=v'a*"+6*— 2ab~côsC. (997)
c étant connu, on pose
. . a stn C
stn A —
puis B=180° — (A + C).
2” On peut commencer par déterminer A.
On a
stn A : sin B=a ! b.
Dans cette proportion il entre deux inconnues, sin A et sin B ; on en fait disparaître une en posant
( sin A + sin B) : (sin A —sin B) = (a + b) : (a — b), (302)
ou, en remplaçant le premier rapport par son égal (992, 3”),
tang * (A 4- B) : tan g * (A — B) : : (a+ 6) : (a — b).
^ (A + B) = ^ (180" — C)=m“ étant connu, cette proportion ne renferme d’inconnue que tang ~ (A — B), et elle en donne la valeur,
tang ^ (A— B) — +
de laquelle on conclut | (A — B)=n*. Ayant la demi-somme m’ et lo demi-différence n" do A et B, on a (Ü56)
A=m° + n“ et B = m*— n\
Ayant A et B, ou pose (996)
a stn C sin A
Cette solution est préférable à la première pour l’emploi des logarithmes (1001).
On déterminerait la surface à l’aide de la formule
„ ab sinC S= .
1004. 4* cas. On donne les trois côtés a, b, c ; déterminer les trois angles A, B, C.
Posant
a*=6*+c* — 26c cos X, (997)
on en tire
cos K —
Des formules semblables donneraient B et C.
Du reste, ayant déterminé ainsi A et B, ou pourrait poser
ce qui, dans tous les cas, sert de vérification.
La formule (a) peut être remplacée par une autre plus propre à l'emploi des logarithmes (100 1).
On a
2 sin* * A=1 — cas A.
Remplaçant cos A par sa valeur (a), on a
d'où
On peut simplifier cette formule en faisant le périmètre o + 6 + c = 2/>, d’où a + 6 — c = 2(p — c) et a — 6 + c = 2(j> — 6), ce qui donne
valeur facile à traduire littéralement.
2 A étant nécessairement aigu , son sinus donne sa valeur et par suite celle de A.
On aurait de même
sm
2 y ac '
