C SM B

2° Faisant b = . - - dans l'expression précédente (996), on a

cx sin A sin B c'sinAsinb 2 sin C 2 .vin (A -f R)’

3" Ayant

sin A = 2 sin ^ A cos ^ A. (988)

Remplaçant sin - A et co.v - A par leurs valeurs (lOO/i), on a

Substituant cette valeur de sin A dans l’équation (a) , il vient S — sJp(p—a){p— b) ( p — c).

Pour a = 200m, b = 180“ et c = 170“, on a

APPLICATIONS

lOOC. Observations. F.n trigonométrie, toutes les questions se ramènent à la détermination des triangles , ou mieux à celle des côtés et des angles de ces triangles.

Sur le papier, une droite se trace avec une règle , et un angle se détermine aveo le rapporteur (902) ; mais pour la triangulation sur le terrain , ces moyens sont insuffisants.

Pour déterminer sur le sol une ligne droite passant par deux points désignés, on plante dans la direction de cette droite des piquets appelés jalons, de manière que quand on se place en un des points donnés , et qu’on fixe l’autre , tous les jalons paraissent se confondre en un seul et cachent ce dernier point (6* partie).

Pour mesurer les angles, soit sur le terrain , soit dans l’espace, on emploie divers instruments : le graphomètre , la boussole, le cercle répétiteur..... Nous donnons la description et l’usage de ces instrumenta dans la 6* partie [Levé des plans).

APPLICATIONS

1007. Trouver la hauteur CD d'un édijicc dont le pied est accessible.

Sur le terrain, supposé horizontal, on mesure une base DE à peu près égale à la hauteur de l'édifice , afin d’éviter les trop petits angles, soit DE=c = 10”; on place l'Instrument en F. pour évaluer l'angle B, que nous supposerons de /il”, et soit BE = A D =■ 1 ",20 la hauteur de l’instrument. Cela fait, le problème est ramené à déterminer le côté b du triangle rectangle ABC, dont on connaît le côté c et l’angle B; or on a (995, corol.)

6=c tan y B=iOx tang /il” = 10 x 0“, 86929 = 8”, 693;

Fig. ISS.

vrwv

îi a î

LDi

donc CD = 8“, 693 + 1”, 20 =9”,893.

Dans le cas où le terrain n’est pas horizontal , un coup de niveau , si l'instrument à mesurer les angles n’est pas disposé à cet effet, donne le point A; par suite on a AD, que l’on ajoute à AC, qui se détermine comme dans le cas précédent.

1008. Trouver la distance AC du point A où l'on est placé, au point

On mesure une base AB de 100”, par exemple; puis, à l’aide du graphomètre, on détermine les angles A et B, soi t A = 65° et B = ù2°. Le problème est alors ramené ù déterminer le côté d’un triangle quelconque dontoncon naît le côté c et les angles adjacents A et B (1001).

On a d’abord

inaccessible , mais visible, C.

Fig. 1*7.

te

C ■* 180°— (A + B)=* 180°— -(65° + ft2*)== 73”.

Puis

sin C : si n B = c ; ù,

d’où

csinU 100x0,669 ■ "sinC 0,956

Fil. iss.

1000. Déterminer la hauteur d'un édifice dont le pied est inaccessible, ou d'une montagne.

Dans cc cas, on ne peut, dans le triangle rectangle ABC, mesurer que l'angle B , qui est de 43" par exemple, et cette donnée ne suffit pas pour calculer AC.

Alors on commence par déterminer la distance BC du point B, où l’on se trouve, au point C considéré comme Inaccessible, en opérant comme dans le cas précédent. Ainsi on mesure une base BB’ sur le sol, et on détermine les angles que fait cette base avec les directions BC et B'C; alors, dans le triangle BB'C, connaissant la base BB' et les angles adjacents, on détermine BC comme dans le cas précédent.

Ayant BC ou a =500”, par exemple, on a (995).

b=asin B = 600x0,682 = 341“, et, par suite, CD = 341 + 1,20 = 342“, 20.

1010. Trouver la distance de deux points inaccessibles C et C'.

On détermine les distances AC et AC' du point A à chacun des points inaccessibles C et C', en opérant comme au n° 1008 ; puis, mesurant l’angle CAC', on a , dans le triangle CAC', les deux côtés AC, AC', et l’angle compris; on détermine alors le côté CC' comme il a été indiqué au n° 1003.

1” Détermination de AC. On mesure la base AB = 100“, par exemple; puis l’angle BAC = 66°, et ABC = 37“ ; d’où ACB= 180* — (66° + 37*) =77°. On a alors

Fig. 189.

d’où

sin ACB : sin ABC = AB ; AC,

AB x sin ABC 100x0,6018 ..

AC=-iraB~ =61a*76-

2° Détermination de AC'. On mesure les angles B AC' =37° et ABC' = 87°; d’où