CIRCONFÉRENCE

CD=z — p, ou CD^z'+p* — 2 pi.

Remplaçant MD* et CD1 par ces valeurs dans celle de rt, il vient y1 + x* — 2 qy — 2 ps + q* + p* = r*, ou y1— 2çy=r*— z’ + 2pi— Jç*— p’;

d’où y — 5 ± y y1 + r* — x, + 2pz — y* — p*. (488)

Telle est l’équation générale de la circonférence en coordonnées rectangulaires.

Lorsque E est l'origine et que EC est l’axe des x, on a </= 0 ctp—r, l’équation devient alors

y* + x' — 2rx + ?■*= r*,

ou y,= 2rz— z1, d’où y= ± \j2rx — x1.

Si le centre du cercle est l’origine, on a à la fois y=0 etp = 0, et il vient

y* 4- z* = r’, d’où y = rfc \>* — x*.

ün voit que, dans chacun des trois cas que nous venons d’examiner, a chacune des valeurs de z correspondent deux valeurs de y. Ce qui devait être, l’équation de la circonférence étant du second degré. De plus, dans les deux derniers cas, les deux valeurs de y sont égales et de signes contraires; ce qui indique qu’alors la courbe est symétrique par rapport à l’axe des z.

1058. Mener une tangente à une circonférence par un point M pris sur cette courbe. On mène le rayon OM , et la perpendiculaire AB à l'extrémité de ce rayon est la tangente demandée.

Il suffit de prouver que AB n’a que le point M commun avec la circonférence, c’est-à-dire qu’un point quelconque C de cette droite, autre que M, est situé hors du cercle. Or, en menant OC , cette droite est une oblique plus grande que la perpendiculaire OM, qui est un rayon ; donc le point C est situé hors du cercle , et AB est bien tangente à la circonférence.

1050. Puisque AB est tangente à la circonférence, tous ses points, excepté M, sont situés bore du cercle ; donc une droite quelconque OC est plus grande que OM ; donc le rayon OM mené au point de contact est perpendiculaire à la tangente (530) , et par suite à la circonférence (594). Ainsi, pour mener une iwrmale en un point de la circonférence, il suffit de joindre le centre à ce point.

Fig. I«9.

1040. Mener une tangente à la circonférence par un point M pris hors du cercle.

On mène MO ; sur cette droite comme diamètre on décrit une circonférence, qui rencontre la circonférence donnée aux points T, T, et traçant MT, MT', ces droites sont tangentes à la circonférence proposée.

En effet, menant les rayons OT, OT', chacun des angles OTM, OT'M est droit comme étant inscrit dans un demi-cercle (G01), et les droites MT, MT', perpendiculaires aux extrémités des rayons OT, OT', sont bien tangentes à la circonférence (1(138).

ELLIPSE

1041 . L'ellipse est une courbe telle, que la somme MF+MF', des distances de chacun de ses points à deux points fixes ou foyers F, F', est une quantité constante (fig, 200).

On voit que l’ellipse se définit par son équation en coordonnées focales (1016), équation qui est, en désignant par les variables p et p' les rayons vecteurs de chacun des points de la courbe, et par 2a la somme constante de ces rayons vecteurs,

1042. De môme que pour la circonférence (57G), une portion de l’ellipse est un arc, et la droite qui joint les extrémités de l’arc est une corde."

Sur une ellipse , et en général sur une courbe quelconque, on nomme arc d’un degré, un arc tel que les normales menées à ses extrémités font entre elles un angle d’un degré.

1043. La corde AA' qui passe par les deux foyers est le grand are de l’ellipse.

La corde BB' perpendiculaire au milieu du grand axe est le petit axe de l’ellipse.

Le point de rencontre O du grand et du petit axe est le centre de l’ellipse.

Toute corde qui passe par le centre est un diamètre de l’ellipse.

Les extrémités A , A', B, B' des axes sont les sommets de l’ellipse.

1044. Les foyers sont également dis-

Fig. *00.

ta nt s . 1“ des sommets, AF= A'F“ et AF'= A'F ; 2* du centre, OF— OF'. T Les sommets A et A' appartenant à l’ellipse, les sommes de leurs

*LW6K.

rayons vecteurs sont égales chacune à la quantité constante 2a (1041), et par suite égales entre elles ; donc

AK + AK' ou 2AK H- FF'= AT' + A'K ou 2A'F' + F'K.

Retranchant FF des deux membres de cette équation , on a

2AK = 2AT', d’où AF = A'F’, et par suite aussi AF' = A'F.

2u Ayant OA = OA' et AF = A'F’, on a aussi OA — AF = OA' — A'K ' ou OF = OF'.

1041t., La somme çcwlarUe 2a des rayons vecteurs est êgafe q# grand axe.

Puisque le point A appartient à l’ellipse, on a AF + AF' = 2a.

Remplaçant AF' par son égal A'F, on a bien

AF + A'F ou AA' = 2a.

1 040. Équation de !' ellipse en prenant pour axes coordonnés le grand et le petit axe de la courbe (1043).

Soit 2a = AA' le grand axe, et 2c = FF' la distance des foyers. On a toujours 2a > 2c ou a > c.

Dans les triangles rectangles MPF' et MPF, on a respectivement (647) MF'1 ou p’1 = MP* + PF'*, et MF1 OU p*= MP* + PF*. Comme on a

MP = y,

PF’ = Oh" + OP = c + x, d’où PF'S = c* + x' + 2cx , (644)

et PF=OF — OP=c — x, d’où PF* = c,+xt—2cx, (646) substituant ces valeurs dans celles de p'* et de p1, il vient

p'* = y 1 + X* + C* + 2 ex et p* = y* + x* + c* — 2 ex. (a) Retranchant membre à membre ces deux équations, on a

p'1 — p* ou (p' + p) (p' — p) = 4 ex; (646)

d’où l’on tire

, 4 ex. Acx 2cx

Ajoutant membre à membre cette équation et celle

O/'T ex *

il vient 2p’ = — + 2a , d’où p ' = — + a,

et par suite P* = + a* + 2cx. (644)

Égalant cette valeur de p11 à sa valeur (a), on a, après avoir chassé le dénominateur a* (446)

a’y* + a’x’ + a’c’ + 2a’cx = c’x* + a* + 2a!cx,

ou, en supprimant le terme 2 a’cx commun aux deux membres, et en réunissant les termes en x* et ceux en a’,

Représentant par 6* la quantité constante a* — c1 (1049) , on obtient pour équation de la courbe

ahy* + 6*x* = a,b',

ou y* = ^ (a! — x1), d'où y = ± ^ y a5 — x*. (487)

Ce qui fait voir qu’à une même valeur de x correspondent deux valeurs égales et de signes contraires pour y, et que par conséquent la courbe est symétrique par rapport à l’axe des x. En tirant la valeur de x en fonction de y, on verrait qu’à une même valeur de y correspondent aussi deux valeurs égales et de signes contraires pour x, et que par conséquent la courbe est encore symétrique par rapport à l’axe des y (1054).

1047. Dans le cas où a — b — r, l'équation de l’ellipse (1040) devient

ce qui n’est autre chose que l’équation d’une circonférence (1037). Ainsi la circonférence est un cas particulier de l’ellipse, dans lequel les deux axes a et b sont égaux au rayon r. Par suite , les propriétés de l’ellipse s’appliquent à la circonférence.

1048. Les droites BF, BE' qui joignent les extrémités du petit axe aux foyers sont égales chacune au demigrand axe a.

Ces droites sont égales comme obliques qui s’écartent également du pied de la perpendiculaire BO (530). De plus on a

BF+ BF' ou 2BF = 2r; ; donc BF — a.

1049. Ayant BF=a, OF=c, si l’on re-

Fig. ïOi.

ELLIPSE

présente le demi -petit axe OB par b , le triangle rectangle BOF donne (647)

Ainsi , dans P équation de l'ellipse (1046), la quantité constante b est le demi-petit axe.

1030. La distance FF'= 2c des foyers est appelée distance focale ,

et le rapport — = - de la distance focale au grand axe se nomme l'excentricité de l’ellipse.

1031. Etant donnés les foyers et un des axes de l'ellipse , trouver taxe inconnu. .

1“ AA' étant le grand axe et F, F' les foyers (1043), la perpendiculaire BB' menée à AA' par le milieu de cette droite représente la direction du petit axe , et d’un foyer F comme centre, avec OA == a pour rayon, décrivant un arc de cercle, il rencontre BB' en des points B et B' qui sont les extrémités du petit axe (1048).

T Si le petit axeBB' et les foyers F et F' étaient donnés, pour avoir le grand axe, il suffirait de porter, à droite et à gauche du point O, sur FF', la distance BF = a.

1032. Étant donnés les axes AA' et BB' d'une ellipse, trouver ses foyers. D’une des extrémités B du petit axe, avec le demi-grand axe OA = a pour rayon, décrivant un arc de cercle, il coupe AA' aux points F et F" qui sont les foyers de l’ellipse (1048).

1035. L'ellipse est le lieu géométrique des points dont la somme des rayons vecteurs est égale au grand axe 2a (513, 1045).

1" M étant un point situé hors de l’ellipse, on a MF-t-MF'> 2a.

En effet, menant CF, le point C appartenant à l’ellipse , on a CF + CF' = 2a.

Remplaçant CF par la quantité plus grande MC + MF, on a bien

MF + MC + CF’' ou MF + MF' > 2a.

2" Le point M' étant situé dans l’ellipse, on a M'F 4- M'F’ < 2a.

Car, menant CF, le point C appartenant à l’ellipse, on a CF’ + CM' + M'F' = 2a. Remplaçant CF + CM' par la quantité plus petite M'F, on a bien

M'F + MT < 2a.

Corollaire. Les réciproques des 1* et 2° sont vraies.

Fig. 80i.

1034. Le grand et le Fig. 303.

petit axe divisent chacun f ellipse en deux parties égales et symétriques.

1* M étant un point de l’ellipse, son symétrique M' par rapport au grand axe AA' (764) appartient aussi à l’ellipse. C’est ce qui résulte de l’équation de la courbe (1046); du peste , les deux triangles rectangles égaux MPI'’, M'PF donnant MF = M'F, et ceux MPF' et M'PF' donnant MF'= M'F', on a

M'F + M'F'= MF+ MF'= 2a ,

et le point M' appartient à l’ellipse (1053). De là il résulte que si l’on fait tourner la partie AMA' de l’ellipse autour de l’axe AA', elle viendra coïncider avec la partie AM'A'; donc elle lui est égale et symétrique.

2" Le point M", symétrique de M par rapport au petit axe BB', appartient aussi à l’ellipse. C’est ce qui résulte également de l’équation de la courbe, et ce que l’on peut encore établir de la manière suivante. Ayant OP = OP' comme quantités égales chacune 4 QM = QM", et OF = OF1, il en résulte que l’on a FP’ = F'P et FP = F'P' ; comme de plus MP = M"P', les deux triangles rectangles égaux MPF', M"P'F donnent MF’ = M"F, et les deux autres triangles égaux MPF, M"P'F' domient MF = M"F' ; d’oii il résulte que l’on a

M"F + M"F' = MF' + MF = 2a ;

donc M" appartient à l’ellipse , et celle-ci est bien aussi divisée en deux parties égales et symétriques par son petit axe.

1033. Le centre de l'ellipse divise tous les diamètres en deux parties égales.

Fig. 304.

Le point M appartenant à l’ellipse, prolongeant MO d’une quantité OM' = OM , et joignant MF, MF', MT et M'F', dans le quadrilatère MFM'F' les diagonales se coupant mutuellement en deux parties égaies, la figure est un parallélogramme (571) , et on &

M'F-f M'F' = MF + MF'= 2a ;

donc le point M' est sur l’ellipse (1053) et MM' est bien un diamètre divisé au point O en deux parties égales.

1036. Tout diamètre MM', autre que le grand et le petit axe, divise rellipse en deux parties égales, mais non symétriques par rapport à ce diamètre (766). Amenant la partie MBM' sur la partie M'B'M , en la faisant tourner autour du point O jusqu'à ce que le point M vienne en M' et le point M' en M, si l’on considère un diamètre quelconque BB', après

KLLH’Sï.

ce mouvement, la partie OB coïncidera avec la partie OB', puisque l’angle BOM = B'OM', et comme OB = OB', le point B tombera en B'. Le point B étant quelconque, on voit que tous les points de la partie MBM' viendront se placer sur la partie M'B'M ; donc tout diamètre divise l’ellipse en deux parties égales.

10ij 7. Dans une ellipse, tout diamètre MM' qui divise une corde AA' en deur parties égales, divise de la même manière toutes les cordes NN', BB'... parallèles à la première. ( La démonstration de ce théorème reposant sur une série de démonstrations que le cadre de cet ouvrage ne permet pas d’aborder, nous l’admettrons.)

10i(8. Deux diamètres MM' et NN' de l’ellipse sont dits conjugués, lorsque chacun d’eux divise en deux parties égales les cordes parallèles à l’autre.

lOoî). Étant donné un diamètre MM' {fi g. 205), tracer son conjugué. On mène une corde CC parallèle à MM', et traçant le diamètre NN' passant par le milieu D de CC', il est le conjugué de MM'.

Lorsqu’on a le grand axe de l’ellipse, menant par son extrémité A une corde AB parallèle à MM', joignant BA', le diamètre NN' mené parallèlement à BA' est le conjugué de MM'. Cette construction est plus simple que la précédente.

1000. Etant donnée une ellipse, déterminer : 1° son centre , 2° ses eues, 3° ses foyers.

1” Menant deux cordes parallèles CC', DD', la droite EE' qui joint les milieux de ces cordes est un diamètre, dont le milieu O est le centre de l’ellipse.

2" Du centre O, décrivant, avec un rayon suffisamment grand, une circonférence qui coupe 1 ellipse en quatre points, la droite qui joint les points d’intersection G, E et la droite GE' étant respectivement parallèles au grand et au petit axe , on peut mener ces axes.

3” Ayant les axes, on détermine les foyers comme au n“ 1052.

1001. Pour déterminer le centre d’un arc d'ellipse, on inscrit dans cet arc deux cordes parallèles; on joint les milieux de ces cordes, et la droite qui en résulte étant dans la direction d’un diamètre, elle passe par le centre. Inscrivant deux nouvelles cordes parallèles entre elles, mais non aux premières, la droite qui joint leurs milieux passant encore

Fig. 206.

Fig. 205.

ClNyUÉJIF. PARTIE. — GÉOMÉTRIE DES COIRBES.

par le centre , elle vient couper la première direction de diamètre en ce point.

Dans le cas où l’arc aurait assez d’étendue pour que la circonférence GEE' ( Jig 207) pût le couper en deux points G, E ou G, E', on pourrait tracer ou le grand ou le petit axe , et menant par le centre une perpendiculaire û cet axe, on aurait la direction du second axe.

100U. De l’équation de l’ellipse (1046;, on tire, pour un point quelconque M ,

Fig. 508.

a* — x* (o + x)(rt — x) a 1

ou, en remarquant que « + x=A'P et a — x = AI\

AP x A'P ~ «>’

Ce qui montre que le rapport du carré d'une ordonnée au produit des segments correspondants du grand axe est égal au rapjiort des carrés du petit et du grand are , et que , par suite, il est constant.

Pour un autre point, on aurait

AP' x A'P'

donc

y’ AP x A'P «'» ~ AP' x A’P’

Ainsi , les carrés des ordonnées sont entre eux comme les produits des segments correspondants du grand axe.

De l’équation de l’ellipse on peut conclure, par la même marche, que les abscisses et les segments correspondants du petit axe jouissent des mêmes propriétés :

x* a1 x* BQ x B'Q

BQ x BQ ~ 5* ’ ï7’ ~ BQ’ x B'Q’’

1065. Décrivant une circonférence sur le grand axe comme diamètre , et menant les ordonnées correspondantes quelconques MP =y et CP= Y de l’ellipse et de cette circonférence , on a

Fig. m.

En effet, le triangle rectangle O PC donnant OC* — OP’ = CP* ou a*— x’=Y!,

ELLIPSE

substituant dans l’équation [b) du numéro précédent, on a

Décrivant une circonférence sur le petit axe, même que l’on a

on prouverait de

1064. On déduit du n" précédent un moyen facile de tracer T ellipse par points. Décrivant des circonférences sur les axes comme diamètres, menant le rayon quelconque OC, et par les points C et D traçant des parallèles aux axes, ces parallèles se rencontrent au point M appartenant à l’ellipse. En effet, MD étant parallèle à OP, on a

MP OD y b CP — OC °U Y — a

Or on conçoit que l’on peut déterminer ainsi autant de points que l’on veut de l’ellipse, et par suite la tracer en raccordant ces points (10 lé).

1066. Autre tracé de l'ellipse jmr points (1066).

AA' étant le grand axe d’une ellipse dont F et F' sont les foyers, pour tracer cette ellipse par points, des foyers F et F' comme centres, avec un rayon Am qui peut varier de AF à AF', on décrit deux arcs de cercle ; puis des mêmes centres F, F', avec un rayon égal à A ’m , qui varie en sens contraire du premier de AT à AT', de manière que l’on ait Am + A'm = AA' = 2a , on décrit deux arcs de cercle qui viennent respectivement couper chacun des premiers en deux points D, D' etc, C', qui sont des points de l’ellipse. En effet, l’un quelconque de ces points, C par exemple, donne bien CF+CF’= \m+ A'm = 2a (1053). On peut déterminer ainsi autant de points que l’on veut de l’ellipse, et traçant une courbe qui raccorde tous ces points, elle pourra être considérée comme étant l’ellipse demandée.

1066. Tracé dit du jardinier, ainsi appelé parce qu’il est mis en usage pour donner à des parterres la forme elliptique.

AA’ étant le grand axe, et F, F' les foyers, on fixe en F, F’ les extrémités d’un cordeau t FMF' dont ia longueur FM+MF' est égale au grand axe AA'. Faisant alors glisser le long du cordeau, dont on tient toujours égale-

Fig. ÎIU.

ment tendues les deux parties variables et de somme constante MP, MF', une pointe si l’on opère sur le terrain, ou un crayon si l’on trace sur un corps dur, cette pointe ou ce crayon décrira l’ellipse d'un mouvement continu. La somme des rayons vecteurs étant égale à la longueur A A' du cordeau pour toutes les positions de la pointe ou crayon M, la courbe est bien une ellipse.

1007. Tracé de P ellipse à P aide d'une règle.

Marquant sur l’arête CD d’une règle mince trois points C, E, G, tels que l’on ait CG = OA=a le demi-grand axe, et EG = OB = b le dem i-petit axe , d’où CE =* a — b ; faisant mouvoir la règle de manière quo le point E reste constamment sur AA', et celui C sur BB', le point G se mouvra sur l’ellipse ayant AA' et BB' pour axes. On pourra alors marquer autant de points que l’on voudra de l’ellipse, et par suite tracer la courba

Ce moyen a été employé au pont Notre-Dame, à Paris, pour tracer les ellipses d’intrados et d’extrados des voûtes.

Le point G appartient bien à l’ellipse; car, menant CH parallèle à OA, on a

Fig. 212.