GP GE GH ~ GC

d’où

Si du point C comme centre, avec CE = a — b pour rayon, on avait décrit un arc de cercle, on aurait déterminé le point E, et en joignant CE , puis prolongeant d’une quantité EG = 6, on aurait également obtenu le point G.

1008. Le compas à ellipse, fondé sur le principe du n‘ précédent , permet de tracer l’ellipse d’un mouvement continu. Il est formé de deux coulisses assemblées à équerre, de manière que leurs axes puissent à la fois coïncider avec las deux axes AA' et BB' de l’ellipse à tracer, et d’une règle CD garnie de deux curseurs E , G, quo l’on peut fixer en deux points quelconques de la règle. Le curseur E porte une patte à pivot qui peutglisserdans la coulisse AA', et celui G une pointe ou un crayon qui trace la courbe quand on fait mouvoir la règle CD. A l’extrémité C de la règle se trouve un support à pivot qui glisse dans la coulisse BB'. Ayant fixé las curseurs E et G de manière que l’on ait CG = OA et EG = OB, si , après avoir fait coïncider les axes des coulisses avec les axes de l’ellipse , on fait tour-

ELLIPSE

Fig. tl4.

ner la règle CD , le point C restera toujours sur l’axe BR’ et celui K sur l’axe AA', et l’on conçoit que le point O décrira l’ellipse.

1060. Au lieu d’espacer les points sur l’arête de la règle comme au n“ 1067, on peut prendre (iC = 6 et GE = a. Faisant mouvoir la règle de manière que C reste sur le grand axe et E sur le petit, le point G décrira l’ellipse.

En effet, les deux triangles semblables GPC et GQE donnent

ÈQ

— — ou GF.

yûW «

Fig. ïi».

1070. Mener une tangente à VelHpse par un point M pris sur la courbe. On mène le rayon vecteur MF , et celui MF que l’on prolonge de MC = MF’; on joint CF', et la perpendiculaire TP abaissée du point M sur CF' est tangente à l’ellipse, c’est-à-dire qu’un point quelconque M', autre que M , pris sur TP, est situé hors de l’ellipse.

En effet, joignant MT, MT' et M'C, le triangle MCF' étant isocèle, la droite MP est perpendiculaire sur le milieu de CF', et on a MT* = M'C. Dans le triangle FCM', on a M'F+M'Cou M'F+M'F'>CF ou MF+ MF' ou 2 a ; donc le point M’ est situé hors de l’ellipse (1063) , et la droite TP est bien tangente au point M.

Remarque. La tangente TP divise en deux parties égales les angles formés par chacun des rayons vecteurs avec le prolongement de l’autre. En effet , le triangle F'MC étant isocèle , la perpendiculaire MP divise bien l’angle F'MC ainsi que son opposé au sommet FMC' chacun en deux

parties égales.

1071. Mener une normale à l’ellipse en un point M ( fig. 215).

On joint M^aux foyers, et la bissectrice MN de l’angle formé par les deux rayons vecteurs est normale à l’ellipse , c’est-à-dire perpendiculaire à la tangente TM.

En effet , les angles CM F' et C'MF étant égaux , leurs moitiés sont égales, et on a PMF' = TMF; comme de plus F'MN = NMF, ajoutant, membre à membre ces deux égalités, il vient PMN = NMT; donc MN est bien perpendiculaire à TM (520).

f.rNQlTÈME PARTIE. — GÉOMÉTRIE DES COURUES.

Fig. 116.

Fig. Ï17.

1072. Pour mener a l'ellipse une tangente parallèle à une droite

CO, du foyer F' on mène F'G perpendiculaire à CD; de l'autre foyer F, avec un rayon FG = 2a , on décrit un arc de cercle qui détermine le point G; on trace FG, ce qui donne le point de contact M ; la tangente MT s’obtient ensuite en menant par M une parallèle à CD ou une perpendiculaire à F'G (910, 911).

1073. Mener une tangente à l'ellipse par un point M pris hors de l'ellipse.

Du point M comme centre , avec MF, distance du point M au foyer le plus voisin F', pour rayon, on décrit un arc de cercle ; du foyer le plus éloigné F, avec le grand axe de l’ellipse pour rayon, on décrit un second arc de cercle qui coupe le premier aux points C, C'; on joint CF etC'F, ce qui détermine les points N, N’, et menant MN , MN', ces droites sont tangentes à l’ellipse en N et N'.

En effet, de ce que NF + NF — CF, grand axe, on a NF' = NC; • comme de plus MF'= MC, la droite MN est perpendiculaire sur le milieu de CF' (531), et divise l’angle F'NC en deux parties égales; donc elle est tangente à l’ellipse au point N (1070). On démontrerait de même que MN' est tangente en N'.

1074. Toutes les ellipses ayant même grand axe AA', etlacircon-

Fig. Ît8.

férence qui a ce grand axe pour diamètre, jouissant de la propriété que les tangentes menées par les points N, M..., où une même perpendiculaire au grand axe rencontre les ellipses et la circonférence, tiennent concourir en un même point T do la direction du grand axe, cette propriété ramène la difficulté du tracé de la tangente à l’ellipse & celle de la tangente à la circonférence (1038. 1040).

ELLIPSE

1073. Autre moyen de mener uré tangente à P ellipse par un point

Par le point M on mène deux cordes MC, MD ; par les points C et D on en trace deux autres CE, DG respectivement parallèles à MD, MC , et la parallèle MT menée par M à EG est la tangente demandée.

Menant le diamètre MM', il divise la corde EG et toutes celles qui sont parallèles à EG en deux parties égales ; MT est donc parallèle au diamètre conjugué de MM' (1058), ce qui fournit encore un moyen de déterminer la direction de MT ; mais il est plus commode de construire EG que le diamètre conjugué de MM'.

Remarque. La parallèle MT' menée à EG ou à MT est aussi tangente à l’ellipse. Ainsi, comme pour le cercle, les tangentes menées à l’ellipse aux extrémités d’un môme diamètre sont parallèles.

107G. Les orbites des planètes, abstraction faite des petites perturbations qu’elles éprouvent, sont des ellipses dont le centre du soleil occupe l’un des foyers. L’orbite de la terre a environ 153 493000 kilomètres de demi-grand axe, et 153454000 kilomètres de demi-petit axe.

L’excentricité ~ = 0,01678 ; c’est, comme l’on voit, une ellipse qui diffère peu d’une circonférence. Junon est la planète dont l’orbite a la

plus grande excentricité ; elle donne - = 0,256.

D’après la première loi de Képler, un rayon vecteur mené du foyer occupé par le centre du Soleil à la planète, et qui se meut avec la planète, décrit des aires qui sont proportionnelles aux temps.

1077. La longueur d'une ellipse ou d'un arc dellipse n’est donnée exactement par aucune construction de géométrie élémentaire ; pour la mesurer, il faut avoir recours à des moyens mécaniques, tels, par exemple, que celui qui consiste à contourner un fil sur la courbe , et à le redresser ensuite pour en évaluer la longueur. On peut considérer aussi l’ellipse ou l’arc d’ellipse comme formé d’une suite de droites trèspetites, dont la somme des longueurs est à peu près égale à la longueur de l’ellipse ou de l’arc d’ellipse.

1070. Surface de l'ellipse. a = 3“ étant le demi-grand axe et 5 = 2“ le demi -petit axe de l’ellipse, la surface de l’ellipse est

- ab = 3,1416 x 3 x 2 = 18““ -,85 ;

ce qui fait voir qu’elle est équivalente à celle r.r' d’un cercle dont le

pris sur la courbe.

rayon r est moyen proportionnel outre les demi-grand et demi-petit axes a et b, c’est-à-dire donnant r2 = a b (618, 668}.

Lorsque les deux foyers de l'ellipse se rapprochent au point de se confondre, les rayons vecteurs deviennent égaux pour tous les points, et égaux chacun au demi-grand axe, qui est, dans ce cas, égal au demi petit axe. L’ellipse est alors un cercle ayant a = 6= r pour rayon, et par suite ~ri pour surface.

1070. La portion d’ellipse comprise entre deux cordes parallèles est un segment.

1000, Surface d'un segment d'ellipse compris entre deux cordes parallèles uu petit ou au grand axe.

1* On décrit un cercle sur le grand axe AAcomme diamètre ; puis, après avoir évalué la surface S’ du segment circulaireC’D'E'F' (671), on conclut la surface S du segment d’ellipse CHEF de la proportion

d’où S = S' x - ,

a et ô représentent toujours les demi-grand et demi-petit axes.

Lorsque les cordes parallèles sont perpendiculaires aux extrémités du grand axe, les segments deviennent l’ellipse et le cercle, dont le rapport des surfaces est encore b ; a.

2“ Les cordes G11 et 1K qui terminent le segment étant parallèles au grand axe, décrivant un cercle sur le petit axe BB' comme diamètre, la surface du segment d’ellipse est donnée par la proportion

GHIK ou S : G'H'nC' ou S' = o; b, d’où S = S' x y-

Lorsque les cordes parallèles sont perpendiculaires aux extrémités du petit axe, les segments deviennent l’ellipse et le cercle de rayon b, et le rapport de leurs surfaces est encore a : b.

1081. L 'ellipsoïde est le solide engendré par la révolution d’une ellipse autour d'un de ses axes.

1082. Im surface de l'ellipsoïde n’est donnée par aucune expression algébrique. Pour l’évaluer, on considère l’ellipse génératrice comme formée d’une série de petites droites qui engendrent dans leur révolution des surfaces latérales de cônes et de troncs de cônes ; on mesure toutes ces surfaces (861, 8G7), et leur somme est la surface approchée de l’ellipsoïde.

HYPERBOLE

108Ü. Le volume de r ellipsoïde est représenté par

quand l’ellipse génératrice tourne autour de son grand axe. Si l’ellipse tourne autour de son petit axe, le volume de l'ellipsoïde est

Lorsque a=6=r, c’est-à-dire quand l’ellipse génératrice est un cercle, les expressions précédentes deviennent

Ce qui devait être, puisque l’ellipsoïde est alors une sphère de rayon r (882).

HYPERBOLE

4084. L 'hyperbole est une courbe à deux branches non fermées (Jij. 221), telle, que la différence MF' — MF des distances de chacun de ses points à deux points fixes ou foyers F, F', est une quantité constante.

On voit que , comme l’ellipse (1041), l’hyperbole se définit par son équation en coordonnées focales (1016), équation qui est, en désignant par les variables p et p’ les rayons vecteurs de chacun des points de la courbe , et par 2a la différence constante de ces rayons vecteurs ,

1086. La droite qui passe par les foyers F, F' de l’hyperbole est l’aie transverse (fig. 221).

Les points A, A', où l’axe transverse rencontre les branches de la courbe , sont les sommets de l’hyperbole.

La perpendiculaire menée sur le milieu de AA' est l’aie non trans-

r erse.

Le point de rencontre O des axes est le centre de l’hyperbole.

108G. Les distances des foyers aux sommets voisins sont égales , et, par suite, il en est de même de leurs dislances au centre .

AF = A'F' et FO = F’O.

En effet , les sommets A et A' appartenant à l’hyperbole , on a

AF' — AF OU AA' + A'F’ — AF = A’F — A'F' OU A'A -f AF — A'F'.

Supprimant la quantité AA' commune aux deux membres de cette

CINQ! ll'ME PARTIE. — UÊOMÊTWE UES COl'RBES.

équation , et réunissant les mêmes quantités dans un même membre , il vient

Fig. Ml.

2 A'F' = 2 AF, d’où AF = A'F'.

Ajoutant la quantité constante A A ’ aux deux membres de cette égalité , on a A'F = AF'. Ce qui fait voir que les distances des foyers aux sommets les plus éloignés sont aussi égales. De ce que AO = A'O, on a aussi FO = F'O. 1087. La différence constante 2a des ra yons vecteurs est égale à la distance AA' des sommets.

Le point A appartenant & l’hyperbole, on a

AF' — AF OU AA' + A'F1— AF = 2a; d'où, en remarquant que A’F' = AF (1086),

AA' = 2a.

2a est la longueur de Paie transverse.

1088. Equation de l'hyperbole en prenant pour axes coordonnés les axes de la courbe (1085).

Soit AA' = 2a et FF' = 2c. On a toujours 2a < 2c ou a < c.

Puisque F'P = x + c et FI> = x — c, les triangles rectangles MPF' et MPF donnent respectivement (6/i7) ,

p '* = y’ + (x + c)* et p’ = y* +(x— c)*; d’où , en développant (6ùù , 6A5) et simplifiant ,

p'* — p* = y* + x* + c* + 2cx — y* — x* — c2 + 2 cx — hcx, c’est-à-dire (6ù6)

d’où

<p' + p)(p'- Ucx

■p) = Ûex,

hcx

2cx

Comme de plus on a

Ajoutant membre à membre ces deux équations , il vient

» cx ,

et par suite

p'* = — — + a* + 2cx.

Égalant cette valeur de p" à sa valeur (a), on a, après avoir chassé le dénominateur a 5 (lihb),

HYPERBOLE. ** 333

n’y’ + a’i* + a’c* + 2a’cx = c’x* 4- ak + 2a*cx ;

d’où , en supprimant 2a*cx , et en réunissant les termes en x’ et ceux en a’,

Représentant la quantité constante a'- — c’, qui est nécessairement négative, par — 6!, on a pour l’équation do l'hyperbole

a’y* — fc’x* = — a* b*,

ou y* — — (x5 — a*) , d'où y = ± - y x! — a1.

De cette équation 11 résulte que, comme l’ellipse (1046. 1054), l’hyperbole est partagée en deux parties symétriques, et par suite égales (767). par chacun de ses axes. Cette équation montre, de plus, que l’on ne peut avoir x < a , et que selon que x varie de ±: n à ± <ao , y varie de 0 à ± co.

Ainsi la courbe se compose de deux branches infinies.

1085t. La distance 2c des foyers se nomme Y excentricité de l’hyperbole (1050).

1090. L'hyperbole est le lieu géométrique des points dont la différence des rayons vecteurs est égale à la distance 2a des sommets de

1° Le point M étant situé entre les deux branches de l’hyperbole, on a MF'— MF < 2a.

En effet, joignant CF', le point C appartenant à l’hyperbole, on a

CF' — CF = 2a.

Ayant CF' > MF’ — MC (549), on a bien, en remplaçantes par cette quantité plus petite.

MF'— MC— CF ou MF' — MF<2a.

2* Le point M' n’étant pas situé entre les deux branches de l’hyperbole, on a

MT' — M'F > 2a.

Joignant C'F, le point C’ appartenant à l’hyperbole, on a C'F' — C'F = 2a, en remplaçant dans cette égalité C'F par la quantité plus petite M'F — M'C', on a bien

C'F' — M'F + M'C' ou MT' — M'F > 2a.

Corollaire. Les réciproques des 1” et 2° sont vraies.

la courbe (1053).

Fig. ÏM.

1001. Les parties OM,OM', d'une même droite MW, comprises entre le

point de rencontre 0 des axes et les deux branches de l'hyperbole sont égales.

Menant MP perpendiculaire à Qx, et prenant VH = PVI , le point N appartient à l’hyperbole (1088). Menant NO perpendiculaire à O;/, et prolongeant jusqu’à la rencontre de MO au point M' ; de ce que NM' est parallèle à PO , ayant PN = PM, on a OM'=OM. De cette égalité et de ce que OQ est parallèle à MN, on a QM' = ON, et N appartenant à l’hyperbole , son symétrique M' lui appartient aussi ; donc le point M', qui donne OM' = OM, est situé sur l’hyperbole.

1002. Remarques. On peut donc considérer le point O comme étant le centre de l’hyperbole , dont les droites telles que MM' sont les diamètres.

Les droites passant par le centre sans rencontrer les branches de l’hyperbole sont appelées diamètres illimités, par rapport aux premiers, nommés diamètres limités.

One droite quelconque ne pouvant rencontrer l’hyperbole en plus de deux points, tout diamètre ne peut rencontrer chacune dos branches en plus d’un point, et toute corde de l’une des branches ne rencontre pus l’autre.

lüOô. Lorsqu’on joint le centre O au milieu i d’une corde, le diamètre BB' qui en résulte divise également en deux parties égales toutes les cordes EF, GF1 parallèles à CD. Le diamètre illimité IK, qui joint le centre au milieu e de la corde CG, divise également en deux parties égales toute corde DU parallèle à la première (1057).

1004, Comme pour l’ellipse (1058), deux diamètres BB' et 1K. , tels que chacun d’eux divise en deux parties égales les cordes parallèles à l’autre, sont appelés diamètres conjugués. Etant donné un diamètre de Vhyperbole, on trouve son conjugué en opérant comme pour l'ellipse (1059).

10915. Etant donné une hyperbole ou un arc (T hyperbole, pour trouver son rentre, puis ses axes, on opère comme pour rellipse (1060, 1061).

1096. Asymptotes. Les branches de l’hyperbole se prolongeant jusqu’à l’infini, les diamètres limités vont en augmentant, à mesure qu’ils font des angles plus grands avec l’axe transverse, jusqu’à l’infini. Les deux diamètres infinis qui forment le passage des diamètres limités aux diamètres illimités prennent le nom d 'asymptotes. Ce sont les tangentes à l’infini aux deux branches du la courbe.

HYFEBBOLE.

Fig. «5.

fso

raQf

uyk

105)7. Tracer les asymptotes d'une hyperbole dont on comuxît les foyers.

De l’un des sommets A comme centre, avec un rayon égal à la demi-distance OF = c des foyers, on décrit un arc de cercle qui coupe l’axe non transverse aux points U, B'; joignant AB, AB', les parallèles MM', NV, menées par le centre O, à ces droites, sont les asymptotes de la courbe; c’est-à-dire qu’elles vont constamment en so rapprochant des brandies de la courbe , qu’elles ne rencontrent cependant qu’à l’infini.

Menant les droites A'B, A'B', elles sont aussi parallèles aux asymptotes. 11 est facile de voir qu’en traçant par A, A', B et B' des parallèles aux axes, ou obtient un rectangle dont les sommets sont sur les asymptotes.

1008. Remarque. Dans le triangle rectangle AOB, on a AB= c,OA=a; donc OB’ = c* — a*— b- (1088). C’est pour cette raison que l’on dit que 15B'=26 est la longueur de l’axe non transverse.

Lorsque les axes 2a et 26 sont égaux, l’hyperbole est dite équilatère. Dans ce cas, les asymptotes sont rectangulaires.

1000. Lorsque les asymptotes sont tracées, pour mener le conjugué d’un diamètre donné LL' (1096), par L on mène une parallèle LD à l’asymptote la plus éloignée do L; elle coupe l’autre asymptote en E; on prend EG = EL, en joignant GO, on a le diamètre conjugué demandé.

Cette contraction est fondée sur ce que chaque asymptote divise en deux parties égales les parallèles à Vautre, comprises entre deux diamètres conjugués Ainsi, de même que l’asymptote MM' divise on deux parties égales GL et toutes les droites qui lui sont parallèles et comprises entre les diamètres conjugués LL', GG", elle divise de la même manière toutes les parallèles AB, A'B'..., comprises entre les deux autres diamètres conjugués AA', 151V.

1 100. Tracé de Vhyperbole par points.

F, F' étant les foyers d’une hyperbole , dont A et A' sont les sommets, pour tracer cette courbe, des foyers F et F' comme centres, avec un rayon A m, qui peut varier depuis AF jusqu'à l’infini , on décrit des arcs de cercle ; puis , des mêmes centres F et F', avec un rayon égal à A 'm, on décrit des arcs de cercle qui coupent chacun des premiers en des points C, D appartenant à l’une des branches do l’hyperbole, et C', D' appartenant à l’autre bran-

Fig. Ü

che. En effet , l’un quelconque C de ces points donne bien CF' — CK = A 'm — Am = constante 2 a.

Faisant varier la position de m sur le prolongement de AF, on déterminera par la construction précédente autant de points que l’on voudra de l’hyperbole; et traçant des courbes qui raccordent ces points, elles pourront être considérées comme étant les deux branches de l’hyperbole demandée.

i 10t. Tracé de thyjmrlfole par un mouvement continu. Soit (fig. 226) FD une règle portant à son extrémité F' un petit trou placé dans le prolongement d’une de ses grandes arêtes, et EDF un fil fixé à l’autre extrémité de cette arête. Prenant la longueur EDF du fil telle que l'on ait EF' — (ED + DF}= AA' = 2a, si, après avoir fixé par des petits pivots l’extrémité F' de la règle à l’un des foyers, et l’extrémité F du fil à l’autre foyer, on fait tourner la règle en maintenant toujours le fil tendu à l’aide d’une pointe ou d’un crayon que l’on fait glisser le long de l'arête de la règle, cette pointe ou ce crayon tracera, dans son mouvement, la branche CD de l’hyperbole. On a bien en effet, pour une position quelconque D du crayon, DF'— DF=EF’— (ED + DF) = AA'

L’autre branche de l’hyperbole se tracerait de la même manière, en fixant l’extrémité de la règle au foyer F et celle du fil au foyer F'.

1102. Mener une tangente à i hyperbole par un point M pris sur la courbe (1070).

On mène les rayons vecteurs MF, MF', on prend MC = MF, on trace CF, et la perpendiculaire MT, abaissée du point M sur CF’, est la tangente demandée , c’est-à-dire que le point quelconque M', autre que M , pris sur cette droite, donne

M F' — MF < AA' ou 2 a. (1090)

En effet, MT étant perpendiculaire sur le milieu de CF puisque le triangle MCF est isocèle , on a

F'C + CM— MF = F'C— MF— MF = 2a ; mais on a F'C + CM' > MT'; donc on a bien MT'— M'F<2a.

Remarque. Le triangle MCF étant isocèle, on voit que la tangente divise l’angle des rayons vecteurs en deux parties égales.

1 105. Comme pour l’ellipse (1075), la tangente à l’hyperbole est parallèle au conjugué du diamètre qui passe par le point de contact, ce qui fournit un second moyen pour mener une tangente à r hyperbole.

Fig. ÏÎT.

HYPERBOLE

1 104. Mener une normale à F hyperbole par le point M (Ji'J. 227).

La bissectrice MN de l’angle FMC', que fait le rayon vecteur MF avec le prolongement MC' de l’autre rayon vecteur, est la normale demandée. On prouverait que MN est en eflét perpendiculaire à la tangente MT, comme au n° 1071.

1 103. Mener une tangente à l'hyperbole par un point extérieur M (1073).

Fi". 2is. Du point M comme centre, avec un rayon égal

• à sa distance MF au foyer le moins éloigné, on

/décrit un arc de cercle ; de l’autre foyer F, avec un rayon 2a =AA', on décrit un second arc qui coupe le premier en deux points C , C' ; on mène ;.'-y j FC, FC', et les perpendiculaires MT, MT', abais-

.. sées du point M sur les milieux de ces cordes,

I ^ \ sont tangentes à l’hyperbole en des points T et T'.

j 1 On peut obtenir directement les points de

/ V contact T et T' en menant F'C, F'C', et en prolon-

' géant ces droites jusqu'à leur rencontre avec

l’hyperbole ; car si par le point T, où F C rencontre l’hyperbole, on voulait mener une tangente, on prendrait sur TF' une longueur égale à TF, ce qui déterminerait le point C, puisque T appartenant à l’hyperbole on a TF'— TF= 2«=€F'; on joindrait ensuite FC, et la perpendiculaire abaissée du point T sur le milieu de FC serait la tangente (1102). Or cette perpendiculaire se confondant avec celle qui a été menée par M, cette dernière était donc bien tangente à l'hyperbole au point T. On démontrerait de même que MT' est tangente au point T'. HOC. De l’équation de l'hyperbole (1088), on tire, pour un point Fig. 229. quelconque M,

ou,en remarquant que x-i-a et x — a=±AI\

/ \ *PxAP a*'

^ Ce qui montre que le rapport du

carré d'une ordonnée au produit des segments correspondants de l'axe transverse est égal au rapport du carré de l'axe non transxersc au carré de F axe transverse, et que, par smitc, il est constant.

Pour un autre point on aurait

donc

A'P' x AF

y' A'P X AP

y'1 ~ A'P'x AP"

Ainsi , 1rs carrés des ordonnées sont entre eux comme les produits des segments correspondants de Paie transverse.

I i 07. En prenant les asymptotes Ox' et O y' de l’hyperbole pour axes coordonnées, l’équation de la courbe devient (1088, 1096)

Fig. 230.

xy'--

Ce qui montre que le produit des coordonnées perpendiculaires ou obliques MQ — x' et MP = y' est constant, et il en résulte que le parallélogramme OPMQ compris entre les coordonnées d’un point quelconque et les asymptotes est aussi constant , car en désignant par 0 l’angle que font les asymptotes, ce parallélogramme a pour base x', pour hauteur y' s in 0 et pour aire

x'y' sin 0

X sin 0.

Lorsque l'hyperbole est équilatère (1098), 0 est droit, sin 0=1, et on a, ce qui devait être, puisqu’alors OPMQ est un rectangle

1 108. .dire de l'hyperbole. En faisant la quantité constante

l’aire A de la Jig. MM’P'P comprise entre l’arc MM', l’asymptote et les deux ordonnées MP = y', M'P' — y" a pour expression

*A = m? sin 0 x log. — ,

dans laquelle x" = OP’, et log. signifie logarithme népérien (38A). Lorsque l’hyperbole est équilatère (1098), on a sint= 1, et par suite

A = m* x log. p-.

PARABOLE

Si l’on prend m pour unité, ii vient

A — loq. — ,

et dans le cas où le point M est au sommet A de l’hyperbole, comme alors on ax'=l, ce qui résulte des deux égalités = y' et xy=m5 = l, il vient

A = loff. x".

C’est cette propriété de« logarithmes népériens, d’exprimer ainsi l’aire de l’hyperbole, qui leur a fait donner le nom de logarithmes hyperboliques (385).

1 100. Selon que l’hyperbole l’ait une révolution autour de son axe non transverse ou de son axe transverse (1085), elle engendre Yhyperbolciidc de révolution à une ou à deux nappes.

PARABOLE

il 10. La parabole est une courbe à une branche non formée, dont tous les points sont également distants d’un point fixe ou foyer F, et d’une droite fixe ou directrice on.

La parabole se définit donc encore, comme l’ellipse et l’hyberbole, par son équation en coordonnées focales (1041, 1084), équation qui est, en désignant par les variables p et p' les rayons vecteurs des difi’érents points de la courte

1111. La perpendiculaire Fr menée par ie foyer à la directrice est l’axe de la parabole.

Le point A où l’axe rencontre la courte est le sommet de la parabole.

te double de la distance constante FO du foyer à la directrice est le p aramètre. de la parabole; on le représente par 2 p.

Le sommet appartenant à la courbe, il divise en deux parties égales la

distance du foyer 4 la directrice ; on a OA=AF= J p.

1112. La corde BB' menée par le foyer, perpendiculairement à rase, est égale au paramétre 2p. En effet, chacune de ses parties FB, FB' étant égale au demi-parnmètre OF = p, on a bien BB'— 2p.

1113. Equation de la parabole en prenant pour axes coordonnés t'axe Ax de la eowrbc et la parallèle Ay menée par le sommet K à la directrice OD.

Fig. 23t.

CINQUIÈME rAUTIE. — GÉOMÉTRIE DES COURBES.

Le triangle MFP donne (647)

P» = MP* + HP* = y' + (x - | p) \

On a aussi

p, = ôp*=(^+|p)*.

Égalant ces deux valeurs de p8, on a, en développant (644, 645)

y1 + x1 + - p* — px = x* + - p*+pi.

Simplifiant, on tire, pour l’équation de la courbe,

y* = 2px ;

d’où (487)

y=±\,2px.

A une même valeur de x correspondant deux valeurs égales et de signes contraires pour y, la courbe est symétrique par rapport à l’axe des x. Résolvant l’équation par rapport à x, on a

y * étant nécessairement positif (468), on voit que x est toujours positif, et que par suite la courbe est tout entière située d’un même côté de l'axe des y.

Suivant que x varie de 0 à cr-, y varie de 0 à ±cc> : par conséquent la courbe est 4 une branche qui se prolonge indéfiniment du côté des y positifs et des y négatifs.

1H4. Les carrés des ordonnées de la parabole sont entre eux comme les abscisses corresj>ondantes (1062, 1106). En effet, l’équation de la parabole (1113) donne pour deux points

y* = 2px et y'* = 2/)x',

d’où t- - £,

H 13. De l’équation y* = 2 px, on conclut

Ce qui montre que le rapport du carré de l'ordonnée à l'abscisse est constant et égal au paramètre 2/j.

Pour x~2’ on a !/* —P* ou V—V‘ -Ainsi f ordonnée qui correspond au foyer est égale à la distance du foyer au sommet (1112).

PARABOLE

1416. La parabole est le lieu géométrique des points situés à égale distance du foyer et de la directrice.

4° Le point M étant situé hors de la parabole, on a MO < MF. En effet, prolongeant QM, et joignant ('.F, on a