CF— CM<MF

ou , en remplaçant CF par son égal CQ ,

CQ — CM OU MQ < MF ;

2* Le point M' étant situé dans l'intérieur de la courbe, on a M’Q> M'F ; car ayant

M'C + CF > M'F, il vient , en remplaçant CF par son égal CQ ,

• M'C + CO ou M'Q > M'F.

Corollaire. Les réciproques des 1* et 2" sont vraies.

4 417. L'axe de la parabole divise la courte en deux parties égales et symétriques.

C étant un point quelconque de la courbe (fig. 232), menant la perpendiculaire CF' àOx, et prenant PB = PC, le point B, symétrique de C, appartient à la parabole. En effet, joignant BF, on a CF = BF (531); comme de plus CF=CQ et CQ = BQ\ on a BF=BQ’; ce qui ne peut être qu’autant que le point B appartient à la courbe (1116); donc les deux parties de courbe sont symétriques par rapport à l’axe, et par suite égales entre elles (767). C’est ce qui avait déjà été établi au n" 1413.

4148. La parabole n’ayant qu’une branche, qui se prolonge à l’infini, elle n’a pas de centre, ou plutôt on peut supposer que son centre est situé à l’infini sur son axe; d’où il résulte que tous les diamètres vont rencontrer l’axe à l’infini, c’est-à-dire lui sont parallèles.

4 418. Comme pour l'ellipse et pour l’hyperbole (1057, 1093), tout

diamètre BB', qui divise une corde CC' en deux parties égales, divise de la môme manière toute corde, telle que EE’, parallèle à CC'.

L’axe, qui est un diamètre, divise en deux parties égales les cordes, telles que F.G, qui lui sont perpendiculaires (1117).

1 420. Pe l’équation y*=2px (1113), il résulte que toute demi-corde Eli perpendiculaire à l’axeest moyenne proportionnelle entre sa distance AH au sommet, et le paramètre 2p=20F-= la corde menée perpendiculairement à taxe par le foyer (1112). Ainsi on a

Fis. 233.

Fig. 232.

Si* CINQUIÈME PARTIE. — GÉOMÉTRIE DES COURBES.

AH : EH = EH : 2/j.

Do là il résulte que -pour avoir le paramètre 2 p , il suffit de mener une demi-corde EH perpendiculaire à l’axe, do joindre AE, d'élever El perpendiculaire à AE, et on a IH = 2p. Le triangle rectangle AEI donne bien en effet (618)

A1I : Eli = EH: Ht.

1121 . Etant donnée une parabole, mener son axe, trouver son foyer et tracer sa directrice.

Menant deux cordes parallèles CC', EE' (fi y. 233), la droite BB' qui joint leurs milieux est un diamètre parallèle à l’axe (1118). Le milieu II de la corde EG perpendiculaire à BB' appartient à l’axe, que l’on obtient en menant par H une parallèle à BB'. On détermine le paramètre 2p=Hl par la construction du n“ 1120, et portant sur l’axe, à droite et à gauche du sommet, le quart du paramètre, on obtient le foyer F et le point O qui détermine la directrice OD.

1 122. Tracer une parabole par points. F étant le foyer, Ox l'axe, OD la directrice, et par suite A, qui donne AO = AF, le sommet , élevant au point B, pris à droite du sommet A, une perpendiculaire CCT à l’axe, et du foyer comme centre , avec la distance OB pour rayon, décrivant un arc de cercle, il coupe CC' en deux points C etc' qui appartiennent à la parabole. En effet , d’après la construction , chacun de ces points est également distant de la directrice et du foyer, et par suite sur la parabole (1116).

On conçoit que menant une série de perpendiculaires à Ar, on déterminera antantde points qu’on voudra do la parabole, et que raccordant tous ces points on obtiendra une courbe que l’on pourra prendre pour la parabole.

H 25. Tracé de la parabole par un mouvement continu ( fig. 234). ECU étant une équerre, et ECF un fil d’une longueur égale au côté EH de l’équerre, fixé par une extrémité au point E et par l’autre au foyer F, si l’on fait glisser l’équerre le long d’une règle dont l'arête coïncide avec la directrice OD, en tenant le fil ECF constamment tendu à l’aide d’une pointe ou d’un crayon C que l'on fait mouvoir le long de l’arête EH de l’équerre, cette pointe ou ce crayon décrira la partie supérieure de la parabole. Betournant l’équerre, on tracera de même, la partie inférieure de la courbe.

line position quelconque Cdu crayon appartient bien à la parabole; car, ayant EC + CF = EU, on a CF=:CH (llifl),

Fig. 23t.

PARABOLE

I J 24. Pour les tracés en grand, comme, par exemple, quand 11 s’agit d’nn balancier de machine à vapeur, auquel on donne la forme parabolique, qui est celle d’un solide d’égale résistance, ayant le sommet A de la parabole {fi g. 235), AO son axe et B un de ses points(pourui) balancier, la distance BO du point B à l’axe est la demi-hauteur du balancier au milieu de sa longueur), on obtient le paramètre au moyen de l’équation

ÔB* = 2p x OA, d’où 2p = — (1113)

Ayant le paramètre, on détermine le foyer et la directrice (1121); puis on peut tracer la parabole comme au n” 1122, ou en calculant, à l’aide de l’équation y* — 2px, les ordonnées correspondant ides abscisses convenablement choisies; mais on a le plus souvent recours au tracé géométrique indiqué fig. 235.

Du point B on abaisse sur l’axe une perpendiculaire que l’on prolonge d’une quantité OB' égale à elle-même; on divise BO et AO en un même nombre de parties égales , quatre par exemple ; par les points de division de OB on mène des parallèles à l’axe; puis , joignant le point B' aux points de division 1, 2, 3 de AO, et prolongeant ces droites jusqu'à leur rencontre avec les parallèles respectives 1,2,3, les points de rencontre appartiennent à la parabole. Opérant pour la partie OB' comme pour celle OB, on obtient au-dessous de l’axe des points symétriques de ceux déterminés au-dessus. On pourrait aussi avoir ces points symétriques en menant des perpendiculaires à l’axe, et en les prolongeant . jusqu’aux parallèles à l’axe menées par les points de division de OB', lîaccordant tous les points obtenus, on obtient une parabole.

1 123. Mener une tangente à la parabole par un point M pris sur la

On joint FQ, et la perpendiculaire MT, abaissée du point M sur FQ, est la tangente. Ainsi , un point quelconque M', pris sur MT, est hors de la courbe, c’est-à-dire donne M'Q'<M'F (1116).

En effet le triangle MFQ étant isocèle, MT est perpendiculaire sur le milieu de FQ. d’où il résulte que l’on a M'Q = M'F : mais M'Q étant une oblique et M'Q' une perpendiculaire menéesd’un mèmepoint à une même droite, on a M'Q > M'Q'. et par conséquent M’Q' < M'F.

courbe (1070, 1102).

Fig. 23fi.

Fig. m

:>4* craonfcMj? partie. — géométrie des courre».

Remarque 1". De ce que le triangle MFQ est Isocèle, il résulte que la fangen te MT divise P angle F.MQ (les rayons vecteurs en deux par lies égales.

Remarque 2*. L’angle QMT=MTF, comme alternes internes; or QMT— TMF; donc TMF=MTF. Le triangle MTF étant isocèle, il en résulte que pour mener une tangente en un point M, il suffit simplement de prendre, à partir du foyer, FT = FM, et de joindre TM.

Ayant FT= FM = MQ = Ot‘, et AO=AF, il en résulte que l’on a aussi AT- AP.

Retnarque 3*. Prenant MB=MF=FT, la corde CD, qui passe par F et B est parallèle à la tangente MT; de plus, elle est divisée au point B en deux parties égales.

De là résulte le moyen de mener une corde divisée en deux parties égales par un diamètre donné (1119).

Menant par l’extrémité de ce diamètre une parallèle à la corde, elle sera tangente à la courbe; d’où résulte un second moyen pour mener une tangente à la parabole.

1 120. Mener une normale à la parabole. La bissectrice MN de l’angle FMB, formé par un des rayons vecteurs et le prolongement de l’autre, est la normale à la courbe au point M. On prouverait comme au n» 1071 que MN est en effet perpendiculaire à la tangente MT.

1127. Pour mener à la parabole une tangente jmrallèle à une droite quelconque CD ( fig . 236), on trace FQ perpendiculaire à CD par le foyer F, et la perpendiculaire TM élevée sur le milieu de FQ est la tangente demandée.

Pour avoir le point de contact, il suffit de mener QM parallèle à l’axe.

L’on voit que pour mener la tangente et déterminer son point de contact, il n’est pas nécessaire que la courbe soit tracée; il suffit d’avoir son axe, son foyer et sa directrice.

Le problème devient impossible quand CD est parallèle à l’axe, puisqu’alors la perpendiculaire FQ ne rencontre pas la directrice.

1 1211. Mener une tangente à la parabole par un point extérieur M.

Du point M comme centre, avec la distance MF pour rayon, on décrit un arc de cercle qui coupe la directrice aux points D et D' ; on mène FD, FD', et les perpendiculaires MT, MT' abaissées du point M sur ces droites sont tangentes b la parabole aux points T et T', qui sont donnés directement en menant par D et D’ des parallèles à l’axe.

Si l’on voulait mener une tangente au point T, on abaisserait de ce point une perpendiculaire sur le milieu deFD (1125); or cette perpendiculaire se confondrait avec celle qui a été menée

PARABOLE

par le point M ; car le triangle MDF étant Isocèle, cette perpendiculaire passe aussi par le milieu de FD. On prouverait de même que MT' est tangente au point T.

1129. Ainsi que pour l’ellipse et l’hyperbole, la géométrie élémentaire ne donne aucun moyen de déterminer exactement la longueur d’en arc de parabole; pour en mesurer la longueur approchée on a recours aux moyens indiqués n" 1077.

1130. La surface d'un segment ■parabolique ABCD compris entre le sommet A et la corde BD perpendiculaire à l’axe est les 2/3 du rectangle EBDG qui a BD et AC pour base et pour hauteur; ainsi on a (63/i)

surf. ABCD = ~ AC X BD,

ou surf. ABC = - AC x BC.

De là on a évidemment surf. ABE = ^ surf. ACBE = i AC X BC.

Remarquant que le segment B1KD, compris entre les deux cordes IlD, 1K perpendiculaires à l’axe, est la différence des deux segments A1LK et ABCD, sa mesure est la différence des mesures de ces deux derniers, et on a

surf. BIKD = 5 ALx IK — ^ ACxBD=ij (ALxlK — ACx BD).

M étant le point de contact de la tangente MT parallèle à ID (1125, rem. 3), la surface du segment AIQD est les 2/3 de la surface du rectangle IDTT, qui a môme base ID et môme hauteur MP que le segment; ainsi on a

surf. AIQD = 5 MPx ID.

Le segment à base perpendiculaire à l’axe n’est qu’un cas particulier de ce cas général.

1131. Le volume engendré par la révolution d’une parabole autour de son axe prend le nom de paraboloide.

11 32. Mesure de la surface courbe d'une calotte de paraboloide engendrée par la révolution de l'arc AI autour de l'aie [fig. 238) .

On prend LR = 2AF et IS = 3AF; on joint SR; puis on prend IU = 11’., et on mène UV parallèle à SR ; d’où il résulte que l’on a

is:iR=it; ou ir: iv.

Kig. Î3S.

La surface s de la calotte parabolique est égale à la surface latérale d'un cylindre droit ayant lit pour diamètre et IV pour hauteur, moins les 8/3 de la surface d’un cercle ayant AF pour rayon ; ainsi on a (608, 857).

*=* x IR x IV — ÂF1.

Représentant l’ordonnée IL par y, comme on a LR=2AF=p (1120)

et lS = 3AF=~p, le triangle rectangle 1LR donne