COURBES DD SECOND DEGRÉ OU SECTIONS CONIQUES

i 134. La parabole peut être considérée comme étant la limite vers laquelle tend une ellipse dont le grand axe croit indéfiniment, tandis que la distance de l'un des foyers au sommet le plus voisin reste constante.

On peut également considérer la parabole comme étant la limite d’une hyperbole.

En transportant l’origine au sommet de l'ellipse, de l’hyperbole et de la parabole, ces trois courbes sont représentées par l’équation générale

y’ = 2px + gx\

dans laquelle p = — et a = ~ —

Selon que l’on a q < 0, q > o et q— 0, l’équation devient li > /,»

1“ y- — 2 — x — — f a;1 ellipse («) ;

2" y* =2 — x + -tx* hyperbole;

3° y* = 2 — x parabole.

En transportant l’origine au sommet de gauche de l’ellipse, et par suite en changeant x en x—a dans l’équation générale du n° 1046, on obtient en effet l’équation 1*. De même, en transportant l’origine au sommet de droite de l’hyperbole, ce qui revient à changer x en x 4- a, l’équation générale du n" 1088 fournit celle 2“.

1 135. Les équations de l’ellipse de l’hyperbole et de la parabole étant du second degré (10/tfi, 1088, 1113), et toute équation du second degré entre deux variables représentant l’une de ces courbes, c’est pourquoi ces courbes sont dites du second degré.

1 136. Tout plan sécant qui ne passe pas par le sommet d’un cône de révolution (771) coupe sa surface latérale suivant une courbe du second degré.

La section est une ellipse si le plan sécant coupe toutes les génératrices, ce qui ne peut avoir lieu que du même côté du sommet, c’est-àdire sur une même nappe du cône. Si le plan est perpendiculaire à l’axe du cône, l’ellipse devient une circonférence (773).

La section est une hyperbole quand le plan sécant est parallèle à deux génératrices : l’une des branches de l’hyperbole est sur une nappe et l’autre sur l’autre.

Lorsque le plan sécant est parallèle à une seule génératrice, 11 ne coupe qu’une nappe, et il détermine une parabole.

Tout plan qui coupe les génératrices d’un cylindre de révolution détermine une ellipse; ce qui devait être, le cylindre pouvant être considéré comme étant un cône dont le sommet est à l'infini. Comme le plan qui pourrait déterminer la parabole ou l'hyperbole est parallèle à une ou à deux génératrices, et par suite à l'axe, il ne peut couper la surface latérale du cylindre que suivant des génératrices (772), et non suivant ces courbes.

Une ellipse ou une parabole quelconque peut toujours s'appliquer sur la surface latérale d’un cône de révolution donné. Il en est de même pour l’hyperbole quand l'angle des asymptotes, celui qui contient la courbe, est moindre que l’angle formé par les génératrices opposées du cône.

La propriété des courbes du second degré d’être déterminées par des plans sécants du cône leur a fait donner le nom de sections coniques.