SPIRALE D’ARCHIMÈDE

1137. La spirale d'Archimède est une courbe plane ouverte que décrit un point qui se meut autour d’un autre O qui est fixe, en s’en éloignant de quantités proportionnelles aux angles qu’il décrit autour de ce dernier.

Ainsi la spirale se définit par son équation en coordonnées polaires (1015); équation qui est, en désignant par a et p ces coordonnées,

p = oa + b.

P distance variable du point générateur au pôle O ;

a angle variable que fait le rayon vecteur avec l’axe 0.r;

a coefficient constant exprimant l’augmentation de o par chaque augmentation d’une unité, d’un degré par exemple, de a;

6 quantité constante qui exprime la valeur de p quand * = 0 ; ainsi 6 est la distance au pôle O, du point de l’axe Or, duquel part le point générateur. Dans la figure, le point générateur partant du pôle, on a b — 0, et l’équation de la courbe est

Il est à remarquer que de même que le point générateur s'éloigne du

SPIRALE IIARCHIMÊDE.

pôle O de quantités égales pour des angles égaux quand il tourne dans un sens, il s'en approche de quantités égales pour les mêmes angles quand il revient dans l’autre sens.

11.38. Chacun des arcs de courbe décrits pendant une révolution complète du point générateur autour du pôle prend le nom de spire.

1 1.39. La distance de deux spires consécutives quelconques, mesurée suivant le rayon vecteur p, est une quantité constante que l’on peut appeler le pas. C’est la quantité dont le point générateur s’éloigne ou s’approche du pôle pour chaque spire. Ainsi pour a =360“, a correspondant à 1°, si l’on représente le pas par p, on a

p — ax 360, ou 0 = ggjj.

1 140. Tracer une spirale (F Archimède {.fig. 239). Ox étant l’axe, O le pôle, supposant 6=0, c’est-à-dire que le point générateur part de O, on porte le pas donné p de O en A ; on divise OA en un certain nombre de parties égales, 8 par exemple; du point O comme centre, avec le pas OA pour rayon, on décrit une circonférence, que l’on divise en un même nombre 8 de parties égales. Menant alors les rayons par ces points de division, et prenant sur le rayon 1, la partie 01 du pas; sur le rayon 2, la partie 02 ; sur la rayon 3, la partie 03, et ainsi de suite, tous les points déterminés sur les rayons appartiendront à la spirale. En effet, l’un quelconque B de ces points donne bien

O A Tl

OB ; OA = BOA : 360", d’où OB = x BOA ou p = x « = ax. (1 137)

ouO obO

Pouvant diviser OA et la circonférence de rayon OA en autant de parties égales que l’on veut, on peut donc déterminer autant de points qu'on le désire de la spirale, et raccordant ces points on obtiendra une courbe que l’on pourra prendre pour la spirale.

Pour tracer une seconde spire, on portera le pas sur le prolongement de OA ; on le divisera de la même manière que OA, et prenant sur les rayons Ot, 02, etc., prolongés suffisamment , des distances égales aux distances du pôle O aux points de division 1, 2, 3, etc., de ce môme pas, on obtiendra des points de la seconde spire, que l’on tracera alors comme la première.

Si la courbe partait d’un point de Ox autre que le point O, on tracerait la première spire et les suivantes en opérant comme pour la seconde spire dans le cas précédent.

«VïiO

1141. Mener une tangente à la spirale par un point M pris sur la

Fig. 2*0. C0Urb€-

Le tracé suivaDt est fondé sur ce principe général ! Quelle que soit la t ourbe engendrée par un point animé de deux mouvements, la tangente eu un jnint de celte courbe est toujours la diagonale du parallélogramme formé sur les directions des deux mouvements au point considéré, avec des côtés égaux aux deux espaces parcuurusou qui pourraient cire parcourus dans le même temps en vertu de la génération.

Pour la spirale d'Archimède , le mouvement du point générateur se compose, à une position quelconque M, de deux mouvements : l'un rectiligne, qui a lieu suivant le rayon vecteurOM, et l'autre circulaire, qui a lieu suivant la circonférence de rayon O.M, c'est-à-dire suivant la perpendiculaire MC au rayon OM. Portant alors sur MO, à partir du point M , une longueur MD égale au pas p de la spirale, et sur la perpendiculaire MC une longueur MC égale à lacirconférence 2-xOM qui a OM pour rayon; terminant le parallélogramme MDTC, qui dans ce cas est un rectangle, et a p et 2- x OM pour côtés, la diagonale MT de ce parallélogramme est la taugente au point M.

Prenant sur MC une longueur MC' égale à l'arc MB décrit avec O.M pour rayon, en terminant le parallélogramme rectangle MOT’C’, la diagonale MT est aussi la tangente, c'est-à-dire que MT' se confond avec MT j d’où résulte la proportion

OM:MC'=MD:MC ou OM: arc MB =p : 2n x OM.

tl42. Pour mener une normale à la spirale au point M ( fi g. 2't0), on conduit la tangente MT, et la perpendiculaire MN menée au point M à cette tangente est la normale demandée.

1 1 43. La surface cPun segment de spirale OBB'O, compris entre le rayon vecteur OB et l'arc BB'O qu'il sous-lend ( Jig . 239), a junir mesure le tiers du produit de la superficie du cercle qui a le rayon vecteur OB = ? pour rayon, par le rapport de ce rayon au pas OA —p. Ainsi, ,v étant la surface, on a (668)

*=|»XÔBixg:

De là il résulte que l’espace spiral OACBB'O, renfermé dans la pre-

DÉV ELOPFAMK . DÉVELOPPÉE. RAYON DE COURBURE.

inière spire, est le tiers do la surface du cercle qui a le pas OA = p pour rayon. Faisant p=p dans la valeur précédente de#, il vient bien

La surface des deux premières spires est tes 8/3 du cercle qui a te pas p pour rayon. En effet, si l’on fait p=2 p dans l'expression générale (a), on a

Retranchant la surface de la première spire de la surface des deux premières spires, on aura pour la surface de la seconde spire

Enfin pour obtenir la surface spirale S comprise entre deux rayons vecteurs OB=p et OB' = p’, il suffit de prendre la différence des surfaces des segments qui se terminent à ces rayons vecteurs, ce qui donne