DÉVELOPPANTE. DÉVELOPPÉE. RAYON DE COURBURE

1144. La développante d’une courbe quelconque est la courbe (’.C'C'C'".. . engendrée par un pointe qui reste fixe sur une tangente CA, dont le point de contact C change continuellement, mais de manière que la distance du point fixe au point de contact soit constamment égale à l'espace parcouru par le point de contact sur la courbe : ainsi B'C’, B"C"... étant des positions de la tangente, on a B'C' = B'C, E"C"=B'C ..

1 143. La courbe CBB"..., sur laquelle roule la tangente, est la développée de CC'C"...

1 140. Le point C, où la développée rencontre sa développante, est l 'origine.

1147. Construire par points la développante de la circonférence ( fhj . 241). C étant l'origine, si en différents points B’, B"... on mène des tangentes au cercle, et que sur ces tangentes on prenne respectivement B'C' = arc B'C, B"C"= arc B'C... les différents points C, C', C"... que l’on obtiendra appartiendront à la développante. On conçoit alors que l’on pourra ainsi obtenir autant de points aussi rapprochés que l’on voudra.

Fig. Ml.

et qu’en raccordant tous ces points, la courbe obtenue sera à très-peu près la développante.

1 1 4U. Tracé de la développante à l'aide du rayon de courbure. Lorsque les points C, B', B''... sont très-rapprochés {fig. 241), on peut considérer les petits arcs CB', B'B"... comme des droites, et on a B'C = B’C'. D’où il résulte que CC' peut être considéré comme étant un arc de cercle ayant B' pour centre et B’C pour rayon; on peut, par la même raison, supposer que B''C" = B"C’=B "B’ + B'C, et par suite que C'C" est un arc de cercle ayant B" pour centre et B"G'= B' C pour rayon, et ainsi de suite. De sorte qu’on peut considérer la développante comme formée d’une série d’arcs de cercle dont les centres et les rayons sont déterminés, et qu’il est par conséquent facile de tracer.

On conçoit que ce tracé ne peut être parfaitement rigoureux qu’autant que le rayon, appelé rayon de courbure (c’est le rayon de la circonférence qui a deux éléments successifs infiniment petits communs avec la courbe au point que l’on considère), varie en chaque point de 1;*. courbe. Dans la pratique, quoiqu’il soit impossible, avec les instrumenta ordinaires à dessiner, de faire varier d’une manière continue le rayon de courbure, on a cependant fréquemment recours à ce mode de tracé.

On rapproche de l’exactitude le tracé d’une courbe à l’aide du rayon de courbure, en prenant la première distance CB’ moitié des suivantes B'B",B"B' "... , et en prolongeant l’arc décrit de B' comme centre ave;; B'C pour rayon jusqu’au milieu de C'C" en un point c' ; l’arc décrit de B ' comme centre s'étendrait alors de c' jusqu’en c" situé au milieu de CC, et ainsi de suite. De cette manière, la portion décrite avec le même rayon de courbure s’étend également de chaque côté de la position qui correspond à la valeur de ce rayon.

PrenantB'B"=B"B"=... les rayons de courbure font des angles égaux lorsque la développée est une circonférence; c’est cette égalité d’angles qu’il convient ordinairement de réaliser, sauf à n’avoir pas B'B"= B"B"'’=... quand la développée n’est pas une circonférence.

1140. Tracer une développante d’un mouvement continu. Supposant un fil enroulé sur la courbe CB'" [fig. 241), et une pointe ou un crayon fixé à l’extrémité C de ce fil, si l’on déroule ce fil en le tenant toujours tondu à l’aide de la pointe ou crayon C, cette pointe ou ce crayon décrira la développante de la courbe qui passe par l’axe du fil , qui est à peu près la courbe développée quand le fil est très-mince.

lliîO. Mener une normale, puis une tangente, à la développante. Menant par le point quelconque N une tangente à la développée, elle est normale à la développante. Menant alors par le point M, où la normale rencontre la développante, une perpendiculaire MT à cette normale, elle est tangente à la développante.

il est à remarquer que toute tangente à la développée est normale à la développante, et réciproquement De plus, la tangente MT à la déve-

CYCLOÏDU. 555

loppante et la normale NO à la développée, menées aux extrémités de chaque rayon de courbure, sont parallèles.

1131. Etant donnée une courbe CM (fig. 251), tracer sa développée. On prend une série de points C,C',C''... sur CM, et les normales à CM menées par ces points étant tangentes à la développée (1250), inscrivant une courbe au polygone CB'B"... formé par les rencontres des normales consécutives, cette courbe pourra être prise pour la développée de CM.

CVCLOÏDE.

liait. Si au lieu que ce soit la droite qui en quelque sorte tourne autour du cercle comme ,g' ***’ dans la génération de

la développante de la circonférence (1155), c’est le cercle qui tourne sur la droite AA'; chaque point de la circonférence de ce cercle décrit, entre

deux de ses contacts successifs avec la droite, une courbe appelée cycloïde. La fig. 252 représente la cycloïde ABA décrite par le point A pour un tour du cercle sur AA'.

lias. La droite AA', comprise entre deux contacts successifs A, A' d‘un même point A, est la base de la cycloïde ABA' décrite par le point A. Cette base est égale à la circonférence du cercle générateur; de sorte que D étant le diamètre de cette circonférence, on a AA’="D.

La perpendiculaire B5, sur le milieu de la base, est l'are de la cycloïde; elle est égale au diamètre D; par conséquent on a (667)

^.' = ^=r=3,1416 = y environ;