AA

d’où AA' = 3,1516xD = y D, et D = g ^e = ââAA'-

1133. Décrire par points la cycloïde engendrée par le point A de la circonférence d'un cercle de diamètre D (fig. 252).

On trace une droite AA' égale à la base 3,1516 xD de la cycloïde; on décrit le cercle O, de diamètre D, tangent à AA' au point A; on divise la base AA' et la circonférence génératrice en un même nombre de parties égales, huit par exemple, que l’on numérote comme l’indique la figure. Par les points de division de la circonférence O on trace des , parallèles à la base AA', et par les points de division 1,2, 3... de AA’,

menant des parallèles aux droites At',A2'..., qui joignent le point A aux différents points de division de la circonférence O, ces parallèles rencontrent respectivement les parallèles à la base AA' en des points qui appartiennent à la cycloïdo. En effet, considérant l’un quelconque 1" de ces points, lorsque le point de contact sera en 1, le diamètre 13' sera vertical, et le point générateur A occupera, par rapport à ce diamètre, ia même position que le point 1' par rapport à Ai dans la figure; or comme cette position est bien 1", ce point appartient donc à la cycloïde. On démontrerait de même que les points 2", 3''.. appartiennent à la cycloïde. Comme l’on peut diviser AA’ en un nombre quelconque de parties égales, on peut donc déterminer autant qu’on le désire de points de la cycloïde, et si l’on raccorde tous cos points, la courbe que l’on obtiendra pourra être considérée comme étant sensiblement la cycloïde.

Si, au lieu de donner le diamètre D du cercle générateur, on donnait la base AA' de la cycloïde , on déterminerait

,, AA' 7 D = 3.iM-e = MAA environ>

et on opérerait ensuite comme dans le cas précédent.

1183. Tracé de la cycloïde par un mouvement continu. On conçoit que le cercle O étant un plateau circulaire , dans la circonférence duquel est fixé une pointe ou un crayon A (Jig . 242;, si l’on fait tourner sans glisser ce plateau le long d’une règle dont l'arête coïncide avec AA’, la pointe ou le crayon A décrira la cycloïdo ABA' d’un mouvement continu.

il 80. Mener une normale , puis une tangente à la cycloïde. Lorsque le point générateur de la cycloïde occupe une position quelconque 3" (Jig. 242), le point de contact étant 3, on peut considérer l’élément 3" de la courbe comme se confondant avec un élément d’arc de cercle dont le point 3 est le centre et 33" le rayon ; par conséquent 33", qui est normal à l’arc de cercle, est aussi normal à la courbe. La perpendiculaire 3"T menée à 33" est tangente à la cycloïde.

De ce qui vient d’être dit, il résulte que pour mener une normalogBt par suite une tangente en un point M d’une cycloïde ou d’un arc de cycloïde, il suffit de déterminer le point de contact du cercle générateur et de ia base correspondant au point M. Or menant un parallèle EE à la base AA' de la cycloïde, à une distance de cette base égale à la moitié du diamètre D du cercle générateur, elle contiendra toutes les .positions qu’occupe le centre de ce cercle dans son mouvement. Lorsque le point générateur A est en M, le centre du cercle se trouve A

Spicïclowe.

une distance de M égale à ^ D ; par conséquent décrivant du point M

comme centre, avec - D pour rayon, un arc de cercle, il coupera la

parallèle EE' en un point O qui sera le centre cherché, et abaissant la perpendiculaire OP, le point P sei$ celui de contact. Alors, que l’on décrive ou non la cercle générateur, la droite Ail» est la normale à la cycloïde au point M , et la perpendiculaire MT est la tangente.

111)7. En menant les normales aux différents points de la cycloïde, ou décrirait la développée de cette courbe (1151).

Le rayon de courbure en un point quelconque M de la cycloïde (fîg. 2 45) est double de la portion MP de la normale, comprise entre la courbe et sa base; d’où il résulte que l’on peut tracer la développée par points.

La développée de la demi-cycldide AB (fig. 242) est une demi-cycloïde égale à AB ; d’où il résulte que la demi-cycloïde AB est aussi égale à sa développante (1144 , 1145).

1 IBB. La longueur de la cycloïde est égale à quatre fois son axe ou diamètre D du cercle générateur (1153). Ainsi , l étant cette longueur, ou a

II 39. La surface S comprise entre la cycloïde et sa base est le triple du cercle générateur. Ainsi D étant le diamètre de ce cercle, on a (668)

S= y rfD*.

ÉPICVCLOÏDE.

1160. SI le cercle générateur O, au lieu de tourner sur une droite, comme au n" 1152 , tourne sur un cercle C {Jig. 244), un quelconque A de ses points décrit, entre ses deux contacts successifs A, A', une courbe ABA' appelée épicycldide .

Lorsque le cercle O tourno k l’intérieur du cercle C, chacun de ses points décrit encore uneépicycloïde; mais qui est interne, et à laquelle il sera facile d’appliquer tout ce qui suit sur l’épicycloïde externe.

11(11. L’arc AA', du cercleC, compris entre les deux contacts A et A', est la base de l’épicycloïdc ; elle est égale à la circonférence -D du cercle générateur O.

La droite CB, menée par le centre C et le milieu de la base, est IWf de l’épicycloïde, et on a B4 = l). Ainsi, comme pour la cycloïde (1153), on a

gT- = -g- = r. — 3,1416 = y environ;

d’OÙ AA'= 3,1416 X D=yD,

AA’ 7 Ct D “ 3, 1416 22 AA '

Fig. Î44.

Le point B, où l’axe rencontre la courbe , est le sommet.

1 102. Tracer une épicyclotde par points (fig. 244). Ce tracé est analogue ùicelui de la cycloïde (1154). Ainsi, prenant la base AA' = 3,1416 xD, ct décrivant le cercle O, de diamètre D, tangent en A au cercle C, on divise la base AA' et la circonférence O en un même nombre de parties égales, huit par exemple, numérotées comme l'indique la figure 244- Du point C comme centre , avec les distances de C aux points de division de la circonférence O pour rayons, on décrit des arcs de cercle concentriques à AA', et des points de division 1, 2 , 3... de AA', comme centres, avec des rayons respectivement égaux aux distances du point A aux points de division 1', 2', 3'... de la circonférence O, décrivant des arcs de cercle, ils coupent les arcs concentriques à AA'en des points appartenant à l’épicycloïde. Des considérations analogues à celles du n” 1154 feraient voir qu’en effet un point quelconque 3" appartient à l’épicycloïde, et que l’on peut déterminer autant de points que l’on veut de cette courbe, et par suite la tracer.

Remarque. Si , au lieu de donner le diamètre D, on donnait la base

AA', on déterminerait D =