AB = E

A a = a' a" =... = -, ce qui suppose la projection AB divisée en n parties égales ;

AD = y„, a’d—y ,, a"d"*=yt... BC = y„, les diverses ordonnées

de la courbe.

Substituant ces expressions dans la valeur de S, on a

s- ? x + 5 X 2i±2i + . . . + ? X y^pL*.

ou , en mettant - en facteur commun ,

s — ~ + Vi + V\ + •• • + y»i + y) .

expression très-simple et facile à appliquer.

1178. Formule de Thomas Simpson. Cette formule donne plus exactement que l’expression précédente l’aire de la courbe plane ABCI) {Jig. 2A7). Le nombre n des divisions de AB étant pair, Thomas Simpson a fait voir que l’aire S de la courbe avait pour expression approchée

3^ [y» + y» + 4(y , + y, + ys + .. . + y-») + %, + y* + y« + ... + y»-,)]. £

~ étant la distance de deux ordonnées consécutives , l’on voit que la

valeur approchée de l'aire S de la courbe est égale au produit du tiers E

— de la distance de deux ordonnées consécutives , par la somme

(y o + y») des deux ordonnées extrêmes , plus t\ fois la somme (y, -f y, + ys + ... + y„, ) des ordonnées de rang pair, plus 2 fois la somme (yt + y» +y« + + y»-,) des ordonnées intermédiaires de rang im-

pair.

Pour n — 8, on a £

S =* 3^-g [y. + y. + 4(y, + y,+ y, + y7) + 2 (y, + y, + ye) |.

Remarque. Dans le cas où une ou les deux extrémités C et D de la courbe se trouveraient sur la droite AB, il suffirait de faire égale à 0 ,

362 CIEQUIÉME PARTIE. — GÉOMÉTRIE DES COt'RBES.

dans l’expression précédente et dans celle du n° 1177, les ordonnées y., y„, qui correspondent aux points qui se trouvent sur AB.

Si l’on avait une courbe fermée, pour évaluer l'aire, on la diviserait en deux parties par une droite , et l’on obtiendrait la surface de chaque partie en opérant comme dans le cas précédent. On peut , dans ce cas, obtenir l’aire totale par une seule application de la formule; il suffit de prendre pour ordonnées les sommes des ordonnées correspondantes dans les deux parties de la courbe.

1I7S). M. Poncelet, par une marche différente de celle suivie par Thomas Simpson , a établi la formule suivante pour calculer l’aire S d’une courbe

S = ^ [2 (y, + y, + . .. + y»,) + £ (y. + y») — ^ (y, + yn~i)] • Cette formule, dans laquelle n est encore un nombre pair, montre

que l 'aire S est à peu près égale au produit de la distance - de deux

ordonnées consécutives, par le double de la somme (y, + ys + ...y„,) des ordonnées de rang pair, augmenté du quart de la somme (y„ -f y„) des ordonnées extrêmes , et diminué du quart de la somme (y, + »/„,) des ordonnées immédiatement voisines des deux ordonnées extrêmes.

La formule de M. Poncelet donne des résultats aussi et même souvent plus approchés que celle de Thomas Simpson, et l’on voit que, à part y. et y,, toutes les autres ordonnées de rang impair n’y figurent pas, ce qui est un grand avantage dans tous les cas où ces ordonnées ne sont pas connues, puisqu’alors on peut se dispenser de les calculer, ce qui n’a pas lieu quand on emploie la formule de Thomas Simpson.