RELATIONS ENTRE LES FORCE»', ETC

fonction de la hauteur de chute; (c) la vitesse en fonction de la hauteur de chute ; (c') la hauteur de chute en fonction de vitesse.

Ces formules sont données pour le cas de la pesanteur ; mais de celles du n" 1318 on peut en tirer de tout à fait analogues pour un mouvement uniformément varié quelconque en remplaçant simplement g par j. Nous avons préféré, sans double emploi , donner celles dues à la pesanteur, qui sont d’un usage plus fréquent dans la pratique.

1320. Détermination expérimentale des lois du mouvement uniformément varié. En observant le mouvement d’un corps tombant librement sous l’action de la pesanteur, on remarque qu’entre l’espace parcouru, la vitesse et le temps, il existe les relations du n” 1318 ; ce qui prouve que le mouvement est uniformément varié, et que, par conséquent, l’action continue d’une force constante sur un corps libre produit ce mouvement (1322).

A cause de la rapidité du mouvement d’un corps qui tombe librement, on conçoit que ces observations ne peuvent fournir que des résultats plus ou moins approchés de la vérité. A l’aide de la machine d’Atwood, on est parvenu à rendre le mouvement aussi lent qu’on le désire (1325), sans qu’il cesse d'être produit par l’action continue d’une force constante sur un corps que l’on peut considérer comme tout à fait libre; alors les résultats ont été observés en toute rigueur, et ils ont vérifié les lois posées aux n“ 1310 et 1311 pour le mouvement uniformément accéléré.

Quant à la valeur de g (1318), qui ne peut être fournie par la machine d’Atwood, on l’a déterminée très-simplement et avec la plus grande rigueur à l’aide du pendule (Voir pendule simple).

Dans ces derniers temps, M. Morin a imaginé un appareil atteignant le même but que la machine d’Atwood.

RELATIONS ENTRE LES FORCES, LES VITESSES ET LES MASSES DES MOBILES SOLLICITÉS.

1321. Nous allons supposer que la force agit de la même manière sur toutes les molécules du corps , comme si toute la matière qui compose le corps était concentrée au point d’application de la force. Cette concentration idéale de la matière constitue ce que l’on appelle un point matériel.

1322. L’action continue d'une force constante sur un corps produit un motwement uniformément accéléré. C’est ce qui résulte du n° 1320, et ce que l’on peut établir d’une manière générale comme il suit : que le corps parte du repos, ou qu'il possède déjà une vitesse v. au commencement du temps t, la force F sollicitant le mobile pendant le premier instant dt , elle produit une accélération de vitesse dv (1306), de sorte qu’après le temps dt, la vitesse est ( v . + du). Si la force cessait son

U2 SFPTltüR PARTIR . — «ÉCANIQI’*.

action , le mobile se mouvrait avec la vitesse constante (r„ + Je); mais comme elle agit pendant le deuxième instant dt comme pendant le premier, elle augmente la vitesse de la môme quantité dv, de sorte qu’après le temps 2 dt la vitesse est r„ + 2dr. Do môme, après les temps 'idt, hdf,...., t, la vitesse est

r„ + 8 dv, v. + àdv,...., e„ + dv X — = v.+jt. (1309)

Ce qui fait bien voir que le mouvement est uniformément accéléré. Il serait uniformément retardé, si, à chaque instant, dv, au lieu de s’ajouter à s'en retranchait, c’est-à-dire si la force agissait en sens contraire de la vitesse r„.

1525. Ainsi , lorsqu'un corps possède un mouvement uniforme, c'est qu'il n'est sollicité par aucune force, ou que les forces qui le sollicitent se feraient statiquement équilibre si te corps était en repos (1295). Dans ces conditions d’équilibre en mouvement, on dit quo le corps est en équilibre dynamique ; la force qui a imprimé le mouvementau corps a cessé d’agir ou a été détruite par une autre force.

1524. D'après ce qui a été dit aux n”' 1320 et 1322, on peut poser, comme principe expérimental, qu'une force produit le même effet sur un corps possédant déjà une vitesse initiale île même direction que la force, que si le corps partait du repos. Les effets de la force et de la vitesse initiale coexistent sans se modifier; ils ne font que s’ajouter ou se retrancher selon que la force et la vitesso initiale ont même sens ou un sens contraire.

1323. On admet généralement comme axiome qu'un nombre, quelconque de forces de même direction et de même sens appliquées à un même point s'ajoutent. C’est en effet ce que l’on vérifie au moyen des balances , des dynamomètres, et mieux encore à l’aide de la machine d’Atwood, avec laquelle, variant successivement les poids se faisant équilibre et le poids moteur, mais de manière que la somme des trois poids soit toujours la môme, on voit que. suivant que le poids moteur est double, triple, quadruple...., l’accélération de vitesse est double, triple, quadrupla...

Si, par exemple, dans une première expérience, los deux corps se faisant équilibre pèsent chacun 220 grammes et que le poids additionnel soit de 10 grammes, ce qui fait un poids total de U 50 grammes, et que dans une deuxième expérience le poids moteur soit de 20 grammes ,

tandis que les corps en équilibre pèsent chacun — — 215 grammes,

l’accélération ou la vitesse acquise après une seconde sera dans la deuxième expérience double de ce qu’elle a ôté dans la première.

Si le poids moteur devenait 30 grammes, et que le poids total fût

RELATIONS entre les forces, etc.

toujours 450 grammes, ce qui correspond à /l-5-°— — ? =210 grammes

pour chacun des poids en équilibre, l’accélération serait triple de la valeur de la première expérience.

Ces expériences confirment bien que plusieurs forces de même sens appliquées en un même point peuvent être remplacées par une force unique égale à leur somme, et qui est par conséquent leur résultante (1293).

132(1. On dit que deux forces sont égales lorsqu'elles sont capables de communiquer la même accélération de vitesse à un même point matériel (1321).

1327. Deux forces quelconques F et f sont entre elles comme les accélérations de vitesse J et j qu'elles communiquent à un même point matériel.

1“ D’abord, cette proportionnalité existe quand J —j, puisqu’alors F =/.

2“ Supposant que J = /ÿ, n étant un nombre entier, chacune des n accélérations.; qui composent J pouvant être supposée produite par une force /, d’après ce qui a été établi au n° 1325, leur ensemble J le sera par la force nf ; d’où F = nf, et par suite

Cette proportion subsisterait évidemment encore si l'on avait/=nF.

3° Si J et j sont dans un rapport quelconque , mais eommensurable(206), si, parexemple, une troisième accélération ;’ est contenue n fois dans J et n' fois dans j, n et n' étant des nombres entiers, appelant f la force capable de communiquer au mobile l’accélération j\ on a d’après le 2”

Multipliant ces proportions terme à terme, on a encore

4“ Enfin, si lés accélérations J et.; sont incommensurables entre elles cette proportion subsiste encore.

D’abord il est évident que selon que l’on voudra communiquer à un môme mobile une accélération plus ou moins grande , la force devra être plus ou moins grande.

Cela établi, divisant l’accélération,; en un nombre entier n de parties égales, la n* partie de j sera contenue un nombre entier n fois

SEPTIÈME PARTIE. — MÉCANIQUE

dans J, plus un reste moindre que et le rapport sera compris entre les deux rapports

: et : .

Le rapport y est aussi compris entre ces deux rapports; par consé-

quent on a

ou

FJ n

- étant une quantité aussi petite qu’on le désire, puisque n est un

nombre arbitraire et par conséquent aussi grand que l’on veut , on a donc bien encore

1328. Si les mobiles sont partis du repos, les vitesses qu’ils ont acquises après le môme temps t sont V = Jt et c=jt ; d’où l’on conclut

et par suite (1327)

Ainsi, quand les mobiles partent du rej>os, les forces sont entre elles comme les vitesses qu'ils possèdent après le même temps.

1329. Dans cette môme hypothèse , les espaces parcourus étant proportionnels aux vitesses acquises (1°, 1311), les forces sont donc encore entre elles comme ces espaces. Du reste, les espaces parcourus après le môme temps t étant

E=ij/« et «=|; t',

on a

et par suite (1327)